Stetigkeit von Funktionen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:07 Fr 12.05.2006 | | Autor: | mimi1310 |
| Aufgabe | Seien c.d Elemente der reellen Zahlen und sei g:(c,d)-> R die Abbildung, die definiert ist durch g(x)= [mm] x^2 [/mm] - 3x + 12 für alle x Element des Intervalls c,d.
Man zeige durch explizite Rechnung ( und ohne Verwendung von irgendwelchen Sätzen über stetige Abbildungen), dass g stetig ist
Hinweis: Setze M= max ( Betrag c, Betrag d) Man zeige zunächst,dass
(1.) Für alle x Element (c,d) ist Betrag von x kleiner/gleich M
(2.) Für alle x,a Element (c,d) ist Betrag g(x)-g(a) kleiner/gleich (2M+3) Betrag von x-a
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Ich weiß nicht genau wie ich da dran gehen soll. Ich habe versucht Betrag von g(x)-g(a) , dann habe ich da stehen: Betrag von [mm] (x^2- [/mm] 3x+ 12) - [mm] (a^2- [/mm] 3a).
Wie komme ich da weiter?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:50 Fr 12.05.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Miriam und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Seien c.d Elemente der reellen Zahlen und sei g:(c,d)-> R
> die Abbildung, die definiert ist durch g(x)= [mm]x^2[/mm] - 3x + 12
> für alle x Element des Intervalls c,d.
> Man zeige durch explizite Rechnung ( und ohne Verwendung
> von irgendwelchen Sätzen über stetige Abbildungen), dass g
> stetig ist
>
> Hinweis: Setze M= max ( Betrag c, Betrag d) Man zeige
> zunächst,dass
> (1.) Für alle x Element (c,d) ist Betrag von x
> kleiner/gleich M
> (2.) Für alle x,a Element (c,d) ist Betrag g(x)-g(a)
> kleiner/gleich (2M+3) Betrag von x-a
(1) sollte klar sein, oder?
Bei (2) ist dann
|g(x) - g(a)| = [mm] |x^{2} [/mm] - 3x + 12 - [mm] a^{2} [/mm] + 3a -12|
= [mm] |(x^{2} [/mm] - [mm] a^{2}) [/mm] - 3(x - a)|
= |(x - a)((x + a) - 3)|
= |x - a|*|x + a - 3|
[mm] \le [/mm] |x - a|*(|x| + |a| + |-3|)
[mm] \le [/mm] |x - a|*(M + M + 3)
Jetzt noch ein bißchen begründender Text von dir, und die Sache ist perfekt!
Gruß aus dem sonnigen HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 Di 16.05.2006 | | Autor: | mimi1310 |
| Aufgabe | | (1) Zeige das für alle x Element Intervall c,d gilt, dass |x| [mm] \le [/mm] M |
So ganz klar ist mir der erste Teil auch noch nicht.
Ich nehme an das M das maximale Intervall bildet, aber wie begründe ich das lxl darin liegt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:06 Di 16.05.2006 | | Autor: | statler |
Mahlzeit Miriam!
> (1) Zeige das für alle x Element Intervall c,d gilt, dass
> |x| [mm]\le[/mm] M
> So ganz klar ist mir der erste Teil auch noch nicht.
> Ich nehme an das M das maximale Intervall bildet, aber wie
> begründe ich das lxl darin liegt?
M ist kein Intervall, sondern eine positive Zahl! Genauer ist M lt. Definition von den 4 Zahlen c, d, -c, -d die größte. Je nachdem, wie das Intervall liegt, ist das der Abstand von c oder von d vom Nullpunkt. Mach mal ein paar Bildchen für die diversen Möglichkeiten.
|x| ist dann der Abstand von x vom Nullpunkt, und der ist kleiner. Wenn du das weniger aus der Anschauung und mehr axiomatisch aus den Ordnungsrelationen herleiten willst, mußt du auch mehrere Fälle unterscheiden. Da c < d ist, bleiben die Mögl. 0 [mm] \le [/mm] c [mm] \le [/mm] d (M = d), c [mm] \le [/mm] 0 [mm] \le [/mm] d mit den Unterfällen M = -c und M = d und schließlich c [mm] \le [/mm] d [mm] \le [/mm] 0 (M = -c).
Hoffentlich habe ich nix vergessen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:31 Di 16.05.2006 | | Autor: | mimi1310 |
Lieber Dieter!
Vielen vielen Dank für deine Hilfe so langsam blicke ich auch durch die Sache mit den Stetigkeiten durch. Mein Problem liegt jetzt nur noch bei den Aufgaben ohne Intervall.
Nachmals vielen dank und einen schönen Tag noch.
Lg Miriam
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