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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:50 So 03.02.2013 | | Autor: | zitrone |
Hallo!
Ich habe ein Problem bei dem Verständnis der Stetigkeit von Funktionen...
Hab zum Bsp dazu eine Aufgabe:
Für welchen Parameter e element [mm] (0,\infty) [/mm] ist die Funktion [mm] fa(0,\infty) [/mm] --> R mit
[mm] f(a)=\begin{cases} a*x, & \mbox{} \mbox{falls 0
stetig in 2?
Ich weiß, dass für a 0,5 eingesetzt werden muss. Aber ich kann nicht nachvollziehen, wieso man sagt, dass:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 2links} [/mm] ax= [mm] \limes_{x\rightarrow\ 2rechts} [/mm] 1 = f(2)
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 2rechts} [/mm] ax=1 = 1
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 2rechts} [/mm] ax=1
An sich versteh ich das Prinzip des rechts- und linksseitigen Grenzwertes nicht...Wie kann man sich das vorstellen? Bzw wie geht man an eine Funktion dran, an welcher man es bestimmen muss?
Könnte mir bitte jemand helfen?
LG zitrone
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Hallo zitrone,
> Hallo!
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> Ich habe ein Problem bei dem Verständnis der Stetigkeit
> von Funktionen...
> Hab zum Bsp dazu eine Aufgabe:
>
> Für welchen Parameter e element [mm](0,\infty)[/mm] ist die
> Funktion [mm]fa(0,\infty)[/mm] --> R mit
>
> [mm]\red{f(a)}=\begin{cases} a*x, & \mbox{} \mbox{falls 0
Das soll wohl [mm]f_a(x)[/mm] heißen ...
>
> stetig in 2?
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> Ich weiß, dass für a 0,5 eingesetzt werden muss. Aber ich
> kann nicht nachvollziehen, wieso man sagt, dass:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 2links}[/mm] ax= [mm]\limes_{x\rightarrow\ 2rechts}[/mm] 1 = f(2)
Statt [mm]ax[/mm] und [mm]1[/mm] sollte da erstmal [mm]f(x)[/mm] stehen.
Wenn du dann den linksseitigen Limes betrachtest, bist du mit den x'en links von 2, also [mm]<2[/mm]. Dort ist dann [mm]f(x)=ax[/mm] definiert.
Beim rechtsseitigen bist du mit den x'en entsprechend rechts von 2, also >2, dort ist [mm]f(x)=1[/mm]
Eine Funktion ist an einer Stelle [mm]x_0[/mm] stetig, wenn sie dort definiert ist und linksseitiger und rechtsseitiger Limes gleich sind und mit dem Funktionswert an dieser Stelle übereinstimmen:
[mm]\lim\limits_{x\to x_0^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)[/mm]
Das muss man dann im Weiteren ausrechnen ...
>
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 2rechts}[/mm] ax=1 = 1
??
Du meinst [mm]x\to 2 \ links[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 2rechts}[/mm] ax=1
??
Hää?
Das ist eine "merkwürdige" Rechnung.
Es ist doch [mm]\lim\limits_{x\to 2^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 2, x<2}f(x)=\lim\limits_{x\to 2, x<2}ax=2a[/mm]
Und das soll [mm]=f(2)=1[/mm] sein, also [mm]2a=1[/mm] und damit [mm]a=1/2[/mm]
Weiter muss gelten [mm]\lim\limits_{x\to 2^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 2, x>2}f(x)=\lim\limits_{x\to 2, x>2}1=1[/mm]
Und das muss auch [mm]=f(2)=1[/mm] sein, aber das ist es ja schon 
Also stimmen für [mm]a=1/2[/mm] rechts- und linksseitiger GW überein und beide sind [mm]=f(2)=1[/mm]
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> An sich versteh ich das Prinzip des rechts- und
> linksseitigen Grenzwertes nicht...Wie kann man sich das
> vorstellen?
Nun, die Funktion muss ja an der entsprechnenden "Nahtstelle" zusammenkleben, es darf keinen Sprung geben, wenn du dich von rechts oder von links annäherst.
> Bzw wie geht man an eine Funktion dran, an
> welcher man es bestimmen muss?
Wie in der Aufgabe: linksseitigen Limes berechnen, rechtsseitigen berechnen.
Für Stetigkeit müssen beide übereinstimmen und gleich dem Funktionswert an der Stelle sein.
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> Könnte mir bitte jemand helfen?
>
> LG zitrone
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:12 So 03.02.2013 | | Autor: | zitrone |
super danke!:)
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