Stetigkeit von Polynomen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:12 Sa 12.12.2009 | | Autor: | SuperHomer |
| Aufgabe | Eine Funktion p: [mm] \IC \to \IC [/mm] in der Form p(x) = [mm] \summe_{k=0}^{n} a_{k}x^{k} [/mm] mit [mm] a_{k} \in \IC, [/mm] 0 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n, heißt Polynom.
Man zeige:
Jedes Polynom p: [mm] \IC \to \IC [/mm] ist stetig |
Ich habe mal wieder keine Ahnung wie ich an solche aufgaben rangehen soll/kann.
Mein gedanke war:
mit dem [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] diese aufgabe zu lösen. ich habe da nur das problem wie ich das anwenden muss.
bitte um eine antwort und vielen dank schonmal im vorraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:30 Sa 12.12.2009 | | Autor: | pelzig |
Normalerweise zeigt man, dass die Funktion [mm] $\IC\ni z\mapsto z\in\IC$, [/mm] die Konstanten Abbildungen [mm] $\IC\ni z\mapsto a\in\IC$ [/mm] stetig sind, sowie Summen und Produkte stetiger Funktionen wieder stetig sind...
Gruß, Robert
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> Normalerweise zeigt man, dass die Funktion [mm]\IC\ni z\mapsto z\in\IC[/mm],
> die Konstanten Abbildungen [mm]\IC\ni z\mapsto a\in\IC[/mm] stetig
> sind, sowie Summen und Produkte stetiger Funktionen wieder
> stetig sind...
>
> Gruß, Robert
deinen Tipp verstehe ich leider nicht so ganz. In der Vorlesung hatten wir das wenn f und g stetig sind auch f*g, f+g und wenn g [mm] \not= [/mm] 0 auch [mm] \bruch{f}{g} [/mm] stetig sind. allerdings weiß ich nicht wie ich das sinnvoll für die aufgabe verwenden kann.
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Hallo SuperHomer,
> > Normalerweise zeigt man, dass die Funktion [mm]\IC\ni z\mapsto z\in\IC[/mm],
> > die Konstanten Abbildungen [mm]\IC\ni z\mapsto a\in\IC[/mm] stetig
> > sind, sowie Summen und Produkte stetiger Funktionen wieder
> > stetig sind...
> >
> > Gruß, Robert
>
>
> deinen Tipp verstehe ich leider nicht so ganz. In der
> Vorlesung hatten wir das wenn f und g stetig sind auch f*g,
> f+g und wenn g [mm]\not=[/mm] 0 auch [mm]\bruch{f}{g}[/mm] stetig sind.
Außerdem habt ihr sicher gezeigt, dass konstante Funktionen [mm] $f(x)=\alpha$ [/mm] mit [mm] $\alpha\in\IC$ [/mm] stetig sind, oder?
Ansonsten zeige das schnell vorab, es ist trivial...
Dann kannst du das alles verwenden, denn du kannst ein Poynom [mm] $f(x)=\sum\limits_{i=0}^{n}a_i\cdot{}x^{i}$ [/mm] ja ausschreiben:
[mm] $f(x)=a_0+a_1\cdot{}x+a_2\cdot{}x^2+a_3\cdot{}x^3+...+a_{n-1}\cdot{}x^{n-1}+a_n\cdot{}x^n$
[/mm]
Also als Summe und Produkte lauter stetiger Funktionen.
Wenn du viel Zeit hast, kannst du ja ganz formal eine Iduktion nach dem Grad n des Polynoms machen ...
Gruß
schachuzipus
> allerdings weiß ich nicht wie ich das sinnvoll für die
> aufgabe verwenden kann.
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> Hallo SuperHomer,
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> > > Normalerweise zeigt man, dass die Funktion [mm]\IC\ni z\mapsto z\in\IC[/mm],
> > > die Konstanten Abbildungen [mm]\IC\ni z\mapsto a\in\IC[/mm] stetig
> > > sind, sowie Summen und Produkte stetiger Funktionen wieder
> > > stetig sind...
> > >
> > > Gruß, Robert
> >
> >
> > deinen Tipp verstehe ich leider nicht so ganz. In der
> > Vorlesung hatten wir das wenn f und g stetig sind auch f*g,
> > f+g und wenn g [mm]\not=[/mm] 0 auch [mm]\bruch{f}{g}[/mm] stetig sind.
>
> Außerdem habt ihr sicher gezeigt, dass konstante
> Funktionen [mm]f(x)=\alpha[/mm] mit [mm]\alpha\in\IC[/mm] stetig sind, oder?
>
> Ansonsten zeige das schnell vorab, es ist trivial...
>
> Dann kannst du das alles verwenden, denn du kannst ein
> Poynom [mm]f(x)=\sum\limits_{i=0}^{n}a_i\cdot{}x^{i}[/mm] ja
> ausschreiben:
>
> [mm]f(x)=a_0+a_1\cdot{}x+a_2\cdot{}x^2+a_3\cdot{}x^3+...+a_{n-1}\cdot{}x^{n-1}+a_n\cdot{}x^n[/mm]
>
Man muss das doch vormal zeigen mit induktion, das jedes [mm] a_{n}x^{n} [/mm] stetig ist. das kann ich ja nicht allgemein vorraussetzen.
wenn ich sage:
InduktionsAnnahme: p(0) = [mm] a_{0}*x^{0} [/mm] => p(0) = [mm] a_{0} [/mm] stetig ist.
InduktionsVoraussetzung: p(n)= [mm] \summe_{k=0}^{n}a_{k} x^{k} [/mm] ist stetig
InduktionsSchritt:
n-> n+1
p(n+1)= [mm] \summe_{k=0}^{n+1}a_{k} x^{k}
[/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{n}a_{k} x^{k}+ a_{n+1} x^{n+1}
[/mm]
IV = p(n) ist stetig + [mm] a_{n+1} x^{n+1}
[/mm]
soweit müsste es doch noch richtig sein oder?
und jetzt muss ich zeigen das [mm] a_{n+1} x^{n+1} [/mm] stetig ist. nur wie kann ich das denn zeigen?
> Also als Summe und Produkte lauter stetiger Funktionen.
>
> Wenn du viel Zeit hast, kannst du ja ganz formal eine
> Iduktion nach dem Grad n des Polynoms machen ...
>
> Gruß
>
> schachuzipus
> > allerdings weiß ich nicht wie ich das sinnvoll für die
> > aufgabe verwenden kann.
>
Danke für deine schnelle und gute antwort so langsam denke ich verstehe ich wie ich so aufgaben lösen kann
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 Sa 12.12.2009 | | Autor: | pelzig |
Was ist jetzt so schwer? Die Identität [mm] $f:x\mapsto [/mm] x$ ist stetig, also auch das Produkt [mm] $f\cdot [/mm] f$ (das ist [mm] $x\mapsto x^2$) [/mm] usw, also ist [mm] $x\mapsto x^n$ [/mm] stetig für jedes [mm] $n\in\IN$. [/mm] Ferner ist für jedes [mm] $c\in\IC$ [/mm] die konstante Abbildung [mm] $x\mapsto [/mm] c$ stetig, dann also auch das Produkt [mm] $x\mapsto cx^n$ [/mm] für jedes [mm] $n\in\IN$. [/mm] Schließlich ist jedes Polynom als Summe von stetigen Funktionen dieser Form stetig.
Natürlich müsste man formal (und nicht "vormal") durch Induktion schließen aber, das ist doch trivial...
Gruß, Robert
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