Stetigkeit von lin. Operatoren < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:34 Mo 22.10.2007 | | Autor: | Kyrill |
| Aufgabe | Seien V,W normierte Vektorräume und A: V [mm] \to [/mm] W ein linearer Operator. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
a) A ist stetig
b) A ist beschränkt
c) A ist stetig in 0 |
Hallo,
könnt ihr mir bitte bei der simplen Aufgabe helfen`?
Schönen Dank im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Mo 22.10.2007 | | Autor: | SEcki |
> a) A ist stetig
> b) A ist beschränkt
> c) A ist stetig in 0
> Hallo,
> könnt ihr mir bitte bei der simplen Aufgabe helfen'?
Ein paar Ideen zum Weiterdenken (ohne Gewähr, dass es nicht noch andere Möglichkieten gibt): a nach c ist klar. Zu c nach a: Eine Folge [m]x_n \to x[/m] kann man ja als [m](x_n-x)\to 0[/m] umschreiben. Da die Funktion ja in 0 stetig ist, kann man dort das Folgenkriterium anwenden. Kann man jetzt das Folgenkriterium für x beweisen?
Zu a nach b: Das Epsilon-Delta-Kriterium gibt dies: zu beliebigen Epsilon gibt es einen Delat-Ball, der in diesen Epsilon-Ball abgebilkdet wird. Da A linear ist, was folgt nun wenn der ursprüngliche Delta-Ball vergrößert wird?
Zu b nach c: Falls [m]x_n\to x[/m] aber nicht [m]A(x_n)\to 0[/m], dann wäre A nicht beschränkt. Also gilt das Folgenkriterium für 0. (sonst gäbe es immer wieder [m]x_k[/m] mit [m]||x_k||<\frac{1}{k}[/m], aber [m]||Ax_k||\ge 1[/m])
SEcki
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