Stetigkeit von x³ < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:16 Mi 18.05.2005 | | Autor: | revu |
Hallo :) das ist mein erstes Posting.
Nachdem wir in unserer Übung gestern die Stetigkeit mit hilfe des Epsilon-Delta Kriteriums gezeigt haben, hab ich mir gedacht ich probier das einfach mal mit einer anderen Funktion aus.
Also wollte ich die Stetigkeit der funktion: [mm] f: x \to x^3 [/mm] zeigen.
Gesagt getan:
1. [mm] |x^3 - x_{0}^3| < \epsilon [/mm]
tja eigentlich ist das ganze nun eigentlich für mich konfus. was muss ich jetzt machen. bei der [mm]g: x\to x^2[/mm] lief das ganze "problemlos" indem man die binomische formel anwendet hatte und abgeschätzt.
Was muss ich hier machen? Vielleicht jemand einen Tipp ;)
Ich versuche gerade dass Ganze Epsilon-Delta-"Neuland" zu ergründen :)
bringt mir hier die erweiterung mit 1 etwas? also sowas in der art:
[mm] \bruch{|x^3 - x_{0}^3| * |x^3 + x_{0}^3|}{|x^3 + x_{0}^3|} < \epsilon [/mm]
[mm]= \bruch{|x^6 - x_{0}^6|}{|x^3 + x_{0}^3|} < \epsilon [/mm]
nur hilft mir das weiter? ... ich seh das noch nicht wirklich ein... macht die sache nur schlimmer ;)
EDIT: desweiteren weiß ich ja das [mm] x < x_{0}+\delta [/mm] vielleicht muss ich das oben (in 1.) einsetzen... ich will ja eine von x unabhängige form?!
Danke für jeden kommentar :)
Gruß, Revu
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo und Willkommen!
f: D [mm] \to \IR [/mm] ist in [mm] x_0 \in [/mm] D stetig, falls es zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 ein [mm] \delta [/mm] > 0 existiert, so dass gilt: [mm] |f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] D mit [mm] |x-x_0| [/mm] < [mm] \delta.
[/mm]
[mm] f(x)=x^3 [/mm] :
[mm] |f(x)-f(x_0)|= |x^3-x_0^3| [/mm] mit [mm] |x-x_0| [/mm] < [mm] \delta [/mm] und [mm] |x^2+xx_0+x_0^2| [/mm] =: M [mm] \ge [/mm] 0 (M [mm] \in \IR [/mm] hinreichend groß)
[mm] =|x-x_0| \cdot |x^2+xx_0+x_0^2| \le \delta \cdot [/mm] M =: [mm] \epsilon [/mm] .
gruss,
logarithmus
|
|
|
| |
|
Hallo logarithmus,
Was man sucht ist ja eine Funktion [mm]\delta=f(\epsilon,x_0)[/mm] mit den gewünschten Eigenschaften.
> f: D [mm]\to \IR[/mm] ist in [mm]x_0 \in[/mm] D stetig, falls es zu jedem
> [mm]\epsilon[/mm] > 0 ein [mm]\delta[/mm] > 0 existiert, so dass gilt:
> [mm]|f(x)-f(x_0)|[/mm] < [mm]\epsilon[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] D mit [mm]|x-x_0|[/mm] <
> [mm]\delta.[/mm]
>
> [mm]f(x)=x^3[/mm] :
> [mm]|f(x)-f(x_0)|= |x^3-x_0^3|[/mm] mit [mm]|x-x_0|[/mm] < [mm]\delta[/mm] und
> [mm]|x^2+xx_0+x_0^2|[/mm] =: M [mm]\ge[/mm] 0 (M [mm]\in \IR[/mm] hinreichend groß)
> [mm]=|x-x_0| \cdot |x^2+xx_0+x_0^2| \le \delta \cdot[/mm] M =:
> [mm]\epsilon[/mm] .
Hier steht jetzt [mm]\delta=\bruch{\epsilon}{M}[/mm] . Das Problem ist dabei das M von x abhängt. Mit hinreichend groß ist es hier nicht getan da M ja beliebig groß werden könnte.
viele Grüße
mathemaduenn
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:30 Mi 18.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo revu!
Wir gehen schon so ähnlich vor wie logarithmus es getan hat, vermeiden aber mal dessen Fehler  :
Es gilt für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $|x-x_0|<1$:
[/mm]
[mm] $|x^2+xx_0+x_0^2|\le 3x_0^2 [/mm] + [mm] 3|x_0| [/mm] + 1 =:M$
Nun definieren wir:
[mm] $\delta:=\min \left\{1,\frac{\varepsilon}{2M} \right\}$
[/mm]
und erhalten für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $|x-x_0|<\delta$:
[/mm]
[mm] $|x^3 [/mm] - [mm] x_0^3| [/mm] = [mm] |x-x_0| \cdot |x^2+xx_0+x_0^2| \le \frac{\varepsilon}{2M} \cdot [/mm] M < [mm] \varepsilon$,
[/mm]
was zu zeigen war.
Viele Grüße
Julius
|
|
|
|
