Stetigkeit widerlegen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:13 So 27.07.2008 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | Sei f : [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] definiert durch
f(x,y) := [mm] \bruch{xy^2}{x^2+y^4} [/mm] falls x [mm] \not= [/mm] 0
und f(x,y) := 0 falls x = 0
Zeige, dass f im Nullpunkt nicht stetig ist. |
Ich müsste doch da eine Folge [mm] x_n [/mm] finden, welche gegen 0 konvergiert für n gegen [mm] \infty, [/mm] aber gleichzeitig muss gelten:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x_ny^2}{(x_{n})^2+y^4} \not= [/mm] 0.
Stimmt das? Und was für eine Folge könnte ich denn da untersuchen?
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> Sei f : [mm]\IR^2 \to \IR[/mm] definiert durch
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> f(x,y) := [mm]\bruch{xy^2}{x^2+y^4}[/mm] falls x [mm]\not=[/mm] 0
> und f(x,y) := 0 falls x = 0
>
> Zeige, dass f im Nullpunkt nicht stetig ist.
> Ich müsste doch da eine Folge [mm]x_n[/mm] finden, welche gegen 0
> konvergiert für n gegen [mm]\infty,[/mm] aber gleichzeitig muss
> gelten:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x_ny^2}{(x_{n})^2+y^4} \not=[/mm]
> 0.
>
> Stimmt das?
Nicht ganz: Du müsstest eine Folge [mm] $(x_n,y_n)$ [/mm] mit [mm] $(x_n,y_n)\rightarrow [/mm] (0,0)$ für [mm] $n\rightarrow \infty$ [/mm] finden, so dass [mm] $\lim_{n\rightarrow\infty}f(x_n,y_n)$ [/mm] entweder nicht existiert oder nicht gleich $f(0,0)=0$ ist.
> Und was für eine Folge könnte ich denn da
> untersuchen?
[mm] $x_n:= 1/n^2, y_n [/mm] := 1/n$. Um zu erklären, weshalb ich gerade auf diese Folge komme, müsste ich die Darstellung von $f$ in Polarkoordinaten, $x = [mm] r\cos(\varphi), y=r\sin(\varphi)$, [/mm] diskutieren. - Aber Du kannst auch so überlegen: Du musst [mm] $x_n$ [/mm] soviel schneller gegen $0$ gehen lassen als [mm] $y_n$, [/mm] dass Zähler und Nenner etwa gleich schnell (bis auf einen konstanten Faktor, hier $1/2$) gegen $0$ gehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:43 So 27.07.2008 | | Autor: | jokerose |
Danke für die tolle Erklärung. Jetzt habs ich's kapiert. 
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