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| Aufgabe | Zeige die Stetigkeit der Funktion $ f : [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] $,
$ [mm] f(x,y)=\left\{\begin{matrix} \bruch{4x^2+y}{x^2+y^2}, & (x,y) \ne 0 \\ 0, & (x,y) =0 \end{matrix}\right. [/mm] $ |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Guten morgen,
Ich habe hier eine Lösung von Prof. aber irgendwie scheint mir diese Lösung falsch zu sein.
Lösung: f ist außerhalb des Nullpunktes als Komposition stetiger Funktionen stetig. Mit Polarkoordinaten gilt weiter:
$ f(r [mm] cos(\phi),r [/mm] sin [mm] (\phi)) [/mm] $ = $ [mm] \bruch{4r^3cos^2(\phi)+sin(\phi)}{r^2(sin^2(\phi)+cos^2(\phi))} [/mm] $ = $ [mm] 4rcos^2(\phi)+sin(\phi) [/mm] $ [mm] \to [/mm] 0 ( r [mm] \to [/mm] 0)
Damit ist f überall stetig.
Bei meinem Ansatz wäre es so:
$ [mm] \bruch{4(r cos(\phi))^2+rsin(\phi)}{(rcos(\phi))^2+(rsin(\phi))^2} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{4r^{{2}}cos^2(\phi)+r sin(\phi)}{r^2(cos^2(\phi)+sin^2(\phi))} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{(4rcos^2(\phi)+ sin(\phi))}{r} [/mm] $
nun würde ich nicht weiter wissen, wie ich argumentieren kann.
Sagen wir mal ich lasse r gegen 0 laufen, dann wäre es ja nicht definiert und somit wäre es ja unstetig?
LG
AragornII
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:28 Fr 16.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Zeige die Stetigkeit der Funktion [mm]f : \IR^2 \to \IR [/mm],
>
> [mm]f(x,y)=\left\{\begin{matrix} \bruch{4x^2+y}{x^2+y^2}, & (x,y) \ne 0 \\ 0, & (x,y) =0 \end{matrix}\right.[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Guten morgen,
>
>
> Ich habe hier eine Lösung von Prof. aber irgendwie scheint
> mir diese Lösung falsch zu sein.
>
> Lösung: f ist außerhalb des Nullpunktes als Komposition
> stetiger Funktionen stetig. Mit Polarkoordinaten gilt
> weiter:
>
> [mm]f(r cos(\phi),r sin (\phi))[/mm] =
> [mm]\bruch{4r^3cos^2(\phi)+sin(\phi)}{r^2(sin^2(\phi)+cos^2(\phi))}[/mm]
> = [mm]4rcos^2(\phi)+sin(\phi)[/mm] [mm]\to[/mm] 0 ( r [mm]\to[/mm] 0)
Das ist doch Quatsch !
>
> Damit ist f überall stetig.
Unfug ! f ist in (0,0) nicht stetig !
>
> Bei meinem Ansatz wäre es so:
>
> [mm]\bruch{4(r cos(\phi))^2+rsin(\phi)}{(rcos(\phi))^2+(rsin(\phi))^2}[/mm]
> = [mm]\bruch{4r^{{2}}cos^2(\phi)+r sin(\phi)}{r^2(cos^2(\phi)+sin^2(\phi))}[/mm]
> = [mm]\bruch{(4rcos^2(\phi)+ sin(\phi))}{r}[/mm]
Das ist richtig !
>
> nun würde ich nicht weiter wissen, wie ich argumentieren
> kann.
> Sagen wir mal ich lasse r gegen 0 laufen, dann wäre es ja
> nicht definiert und somit wäre es ja unstetig?
Nimm mal [mm] \phi= \bruch{\pi}{2}.
[/mm]
Dann ist $ f(r [mm] cos(\phi),r [/mm] sin [mm] (\phi)) =\bruch{1}{r} \to \infty$ [/mm] für ($r [mm] \to [/mm] 0$).
Beachte noch: für y [mm] \ne [/mm] 0 ist f(0,y)=1/y. Das strebt nun wirklich nicht gegen f(0,0)=0 für y [mm] \to [/mm] 0.
FRED
>
> LG
>
> AragornII
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okay danke :) ich wusste doch irgendwas stimmt da nicht.
Aber eine frage habe ich noch.
$ f(r [mm] cos(\phi),r [/mm] sin [mm] (\phi)) =\bruch{1}{r} \to \infty [/mm] $ für (r [mm] \to [/mm] 0)
vllt habe ich dort ein Denkfehler, aber wenn ich r gegen 0 laufen lasse.
kommt doch nicht [mm] \infty [/mm] raus?
könntest du mir das bitte noch kurz erklären?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:07 Fr 16.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> okay danke :) ich wusste doch irgendwas stimmt da nicht.
>
> Aber eine frage habe ich noch.
>
> [mm]f(r cos(\phi),r sin (\phi)) =\bruch{1}{r} \to \infty[/mm] für
> (r [mm]\to[/mm] 0)
>
> vllt habe ich dort ein Denkfehler, aber wenn ich r gegen 0
> laufen lasse.
> kommt doch nicht [mm]\infty[/mm] raus?
Hä ? Was sonst ?
FRED
>
> könntest du mir das bitte noch kurz erklären?
>
> LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:13 Fr 16.01.2015 | | Autor: | AragornII |
ja stimmt :) vielen Dank fred97.
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Guten morgen,
$ [mm] f(x,y)=\left\{\begin{matrix} \bruch{4x^2+y}{x^2+y^2}, & (x,y) \ne 0 \\ 0, & (x,y) =0 \end{matrix}\right. [/mm] $
ich habe die Aufgabe falsch abgeschrieben und ich glaube deswegen war die Musterlösung falsch ;S
die genaue Aufgabenstellung lautet:
$ [mm] f(x,y)=\left\{\begin{matrix} \bruch{4x^2\red * y}{x^2+y^2}, & (x,y) \ne 0 \\ 0, & (x,y) =0 \end{matrix}\right. [/mm] $
also oben im Zähler $ [mm] 4x^2 [/mm] $ mal y
wäre dann die in meiner ersten frage gestelle lösung richtig?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:34 Sa 17.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Guten morgen,
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> [mm]f(x,y)=\left\{\begin{matrix} \bruch{4x^2+y}{x^2+y^2}, & (x,y) \ne 0 \\ 0, & (x,y) =0 \end{matrix}\right.[/mm]
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> ich habe die Aufgabe falsch abgeschrieben und ich glaube
> deswegen war die Musterlösung falsch ;S
>
> die genaue Aufgabenstellung lautet:
>
> [mm]f(x,y)=\left\{\begin{matrix} \bruch{4x^2\red * y}{x^2+y^2}, & (x,y) \ne 0 \\ 0, & (x,y) =0 \end{matrix}\right.[/mm]
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> also oben im Zähler [mm]4x^2[/mm] mal y
>
> wäre dann die in meiner ersten frage gestelle lösung
> richtig?
Ja, wenn man dort in
$ f(r [mm] cos(\phi),r [/mm] sin [mm] (\phi)) [/mm] $ = $ [mm] \bruch{4r^3cos^2(\phi)+sin(\phi)}{r^2(sin^2(\phi)+cos^2(\phi))} [/mm] $ = $ [mm] 4rcos^2(\phi)+sin(\phi) [/mm] $ $ [mm] \to [/mm] $ 0 ( r $ [mm] \to [/mm] $ 0)
an zwei Stellen ein "*" statt "+" schreibt:
$ f(r [mm] cos(\phi),r [/mm] sin [mm] (\phi)) [/mm] $ = $ [mm] \bruch{4r^3cos^2(\phi)*sin(\phi)}{r^2(sin^2(\phi)+cos^2(\phi))} [/mm] $ = $ [mm] 4rcos^2(\phi)*sin(\phi) [/mm] $ $ [mm] \to [/mm] $ 0 ( r $ [mm] \to [/mm] $ 0)
FRED
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> LG
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