Stetigkeit zeigen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:03 Sa 07.06.2008 | | Autor: | herben |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden auf [mm] \IR^2 [/mm] definierten reellen Funktionen auf Stetigkeit!
a) [mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2}, & \mbox{für } (x,y)\not= (0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \end{cases}
[/mm]
b) $g(x,y)=x*f(x,y)$
c) [mm] $h(x,y)=sign(x+y)*sin(x^2+y^2)$
[/mm]
wobei [mm] sign(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x>0 \\ 0, & \mbox{für } x=0 \\ -1, & \mbox{für } x<0 \end{cases} [/mm] |
Hallo,
ich habe ein paar Probleme bei dieser Aufgabe, ist das erste mal, dass ich eine Funktion mit 2 veränderlichen auf stetigkeit prüfen soll. Also ich hab nach längerem Suchen im Internet ein paar Ideen gesammelt, bei der a) hab ich folgendes gemacht.
Schreibe zunächst $(x,y)$ in Polarkoordinaten mit $x=r*cos [mm] \varphi$ [/mm] und $y=r*sin [mm] \varphi$, [/mm] dann gilt
[mm] \bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\bruch{(r*cos \varphi)^2-(r*sin \varphi)^2}{(r*cos \varphi)^2+(r*sin \varphi)^2}=\bruch{r^2(cos^2\varphi-sin^2\varphi)}{r^2(cos^2\varphi+sin^2\varphi)}=cos^2\varphi-sin^2\varphi
[/mm]
Tja jetzt ist leider das $r$ weg, was eigetlich gegen 0 gehen sollte, das ergebnis hängt ja jetzt nur von [mm] \varphi [/mm] ab, was bedeutet das für meine Stetigkeit? Ist das hinreichend um zu sagen dass $f$ unstetig ist oder funktiniert hier einfach nur dieses Kriterium nicht?
Bei den andere Aufgaben bräuchte ich auch mal einen kleinen Hinweis/Ansatz..
Vielen Dank schon mal im Voraus.
mfg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Untersuchen Sie die folgenden auf [mm]\IR^2[/mm] definierten reellen
> Funktionen auf Stetigkeit!
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> a) [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2}, & \mbox{für } (x,y)\not= (0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \end{cases}[/mm]
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> b) [mm]g(x,y)=x*f(x,y)[/mm]
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> c) [mm]h(x,y)=sign(x+y)*sin(x^2+y^2)[/mm]
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> wobei [mm]sign(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x>0 \\ 0, & \mbox{für } x=0 \\ -1, & \mbox{für } x<0 \end{cases}[/mm]
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> Hallo,
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> ich habe ein paar Probleme bei dieser Aufgabe, ist das
> erste mal, dass ich eine Funktion mit 2 veränderlichen auf
> stetigkeit prüfen soll. Also ich hab nach längerem Suchen
> im Internet ein paar Ideen gesammelt, bei der a) hab ich
> folgendes gemacht.
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> Schreibe zunächst [mm](x,y)[/mm] in Polarkoordinaten mit [mm]x=r*cos \varphi[/mm]
> und [mm]y=r*sin \varphi[/mm], dann gilt
>
> [mm]\bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\bruch{(r*cos \varphi)^2-(r*sin \varphi)^2}{(r*cos \varphi)^2+(r*sin \varphi)^2}=\bruch{r^2(cos^2\varphi-sin^2\varphi)}{r^2(cos^2\varphi+sin^2\varphi)}[/mm]
und dann wirst Du natürlich [mm] $r^2 [/mm] wegkürzen und wegen [mm] $\cos^2(\varphi)-\sin^2(\varphi)=\cos(2\varphi)$ [/mm] sowie [mm] $\cos^2(\varphi)+\sin^2(\varphi)=1$ [/mm] erhältst Du
[mm]\bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\cos(2\varphi)[/mm]
also ist diese Funktion an der Stelle $(0,0)$ nicht stetig (wähle etwa [mm] $\varphi=\frac{\pi}{2}$). [/mm] Dies hätte man natürlich auch mit weniger Aufwand sehen können: indem man einfach $x=0$ setzt und dann noch [mm] $y\rightarrow [/mm] 0$ gehen lässt: ergibt Grenzwert $-1$, was offenbar [mm] $\neq [/mm] f(0,0)$ ist.
Bei b) und c) kannst Du das, was Du für $f(x,y)$ schon gelernt hast, weiter nutzen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:35 Sa 07.06.2008 | | Autor: | herben |
Hallo,
erstmal danke für die Antwort (hatte versehentlich auf "Senden" geklickt obwohl ich nur eine Vorschau haben wollte  deswegen war das [mm] r^2 [/mm] nicht weggekürzt, usw.) Also wenn f nicht stetig ist, dann wird g wohl auch nicht stetig sein, denke ich, weil f durch die Multiplikatin mit x nicht stetig werden kann, abgesehen von x=0 bzw. vielleicht auch sehr kleine x, aber ich nehme an es soll dann für alle x stetig sein. Wie kann ich das begründen, reicht es wenn ich einen einzigen Wert angebe für die g nicht stetig ist?
Zu c) wieder mit Polarkoordinaten
[mm] $sign(x+y)*sin(x^2+y^2)=sign(r*cos \varphi [/mm] + r*sin [mm] \varphi)*sin((r*cos \varphi)^2+(r*sin \varphi)^2) [/mm] =$
$sign(r*cos [mm] \varphi [/mm] + r*sin [mm] \varphi)*sin(r^2*cos^2\varphi+sin^2\varphi) [/mm] = sign(r*cos [mm] \varphi [/mm] + r*sin [mm] \varphi)*sin(r^2)$
[/mm]
Ok wenn jetzt r gegen 0 geht, dann geht auch [mm] sin(r^2) [/mm] gegen 0 und auch sign, es ist also quasi egal was ich für [mm] \varphi [/mm] einsetze...also stetig?
mfg
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> Hallo,
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> erstmal danke für die Antwort (hatte versehentlich auf
> "Senden" geklickt obwohl ich nur eine Vorschau haben wollte
> deswegen war das [mm]r^2[/mm] nicht weggekürzt, usw.) Also wenn
> f nicht stetig ist, dann wird g wohl auch nicht stetig
> sein, denke ich, weil f durch die Multiplikatin mit x nicht
> stetig werden kann,
Wie kommst Du den darauf? - Wenn [mm] $(x,y)\rightarrow [/mm] 0$ geht, dann geht doch auch [mm] $x\rightarrow [/mm] 0$. Aufgrund der bereits festgestellten Beziehung [mm] $f(x,y)=\cos(2\varphi)$ [/mm] erhältst Du für diese Funktion $g(x,y)$, dass
[mm]g(x,y)=r\cos(\varphi)\cos(2\varphi)[/mm]
Lass hier nun [mm] $r\rightarrow [/mm] 0$ gehen und stell Dir zugleich vor, dass [mm] $\varphi$ [/mm] bei diesem Prozess beliebig wild herummirren kann: dennoch geht doch $g(x,y)$ gegen $0=g(0,0)$. Also ist $g(x,y)$ an der Stelle $(0,0)$ stetig.
> abgesehen von x=0 bzw. vielleicht auch
> sehr kleine x, aber ich nehme an es soll dann für alle x
> stetig sein. Wie kann ich das begründen, reicht es wenn ich
> einen einzigen Wert angebe für die g nicht stetig ist?
> Zu c) wieder mit Polarkoordinaten
>
> [mm]sign(x+y)*sin(x^2+y^2)=sign(r*cos \varphi + r*sin \varphi)*sin((r*cos \varphi)^2+(r*sin \varphi)^2) =[/mm]
>
> [mm]sign(r*cos \varphi + r*sin \varphi)*sin(r^2*cos^2\varphi+sin^2\varphi) = sign(r*cos \varphi + r*sin \varphi)*sin(r^2)[/mm]
Wir dürfen $r>0$ annehmen. In diesem Falle ist sogar
[mm]h(x,y)=\mathrm{sign}(\cos\varphi+\sin\varphi)\cdot\sin(r^2)[/mm]
>
> Ok wenn jetzt r gegen 0 geht, dann geht auch [mm]sin(r^2)[/mm] gegen
> 0 und auch sign
Nee, das braucht nicht zu gelten. Aber es genügt ja, dass [mm] $\mathrm{sign}(\ldots)$ [/mm] beschränkt ist: dann geht das Produkt mit [mm] $\sin(r^2)$ [/mm] auch schon gegen $0$.
>, es ist also quasi egal was ich für [mm]\varphi[/mm]
> einsetze...also stetig?
ok.
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