Stetigkeit zeigen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:33 Mi 16.12.2009 | | Autor: | LariC |
| Aufgabe | | f(x):=x-[x] wobei[x]:=max{neZ:n<=x} |
Hallo - ich soll sie Stetigkeit dieser Funktion untrsuchen, die lücken bei den ganzen Zahlen habe ich schon bewiesen - jetzt kommt nur wieder das Problem die Stetigkeit in den stellen für x0 ungleich Z zu zeigen und da ist mir leider noch nicht so ganz kklar, wie man das machen soll, bwohl mir die delta-epsilon-defintion ein begriff ist, aber wie wendet man dise hier an!?
Könnte mir das bitte jemand erklären?!
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> f(x):=x-[x] wobei[x]:=max{neZ:n<=x}
> Hallo - ich soll sie Stetigkeit dieser Funktion
> untrsuchen, die lücken bei den ganzen Zahlen habe ich
> schon bewiesen - jetzt kommt nur wieder das Problem die
> Stetigkeit in den stellen für x0 ungleich Z zu zeigen und
> da ist mir leider noch nicht so ganz kklar, wie man das
> machen soll, bwohl mir die delta-epsilon-defintion ein
> begriff ist, aber wie wendet man dise hier an!?
> Könnte mir das bitte jemand erklären?!
>
Hallo,
Du willst ja jetzt die Stetigkeit von f über den Intervallen ]n,n+1[ zeigen.
Sei also [mm] x_0\in [/mm] ]n,n+1[.
Nun mußt Du zu beliebigem [mm] \varepsilon<0 [/mm] ein passendes [mm] \delta [/mm] finden mit [mm] |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon [/mm] für alle x mit [mm] |x-x_0|<\delta.
[/mm]
Wähle Dein [mm] \delta [/mm] so klein, daß die x, die Du betrachtest, ebenfalls im Intervall ]n,n+1[ liegen,
also [mm] \delta
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:10 Mi 16.12.2009 | | Autor: | LariC |
Danke dir erstaml - was mich verwundert - diese Überlegung hatte ich auch schon genauso, aber ich dachte da würde noch eine Rechnung zwischen dem
[mm] |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon[/mm]
[/mm]
und dem Ergebnis fehlen, muss ich nicht erst noch
x-[x]-(x0-[x0] berechnen um auf das Ergebnis mit min delta zu kommen?!
Ansonsten finde ich dieses Ergbnis wirklich ohisch - hatte es mi auch schon geometrisch angesehen und fand es sehr effektiv!
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> Danke dir erstaml - was mich verwundert - diese Überlegung
> hatte ich auch schon genauso, aber ich dachte da würde
> noch eine Rechnung zwischen dem
> [mm]|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon[/mm][/mm]
> und dem Ergebnis fehlen, muss ich nicht erst noch
> x-[x]-(x0-[x0] berechnen um auf das Ergebnis mit min delta
> zu kommen?!
Hallo,
wenn Du irgendwas mit dem [mm] \varepsilon-\delta-Kriterium [/mm] beweist, geht das so:
Du sagst: [mm] \varepsilon>0.
[/mm]
Dann präsentierst Du auf dem Silbertablett Dein [mm] \delta.
[/mm]
Woher Du dieses [mm] \delta [/mm] hast, geht keinen Menschen etwas an. das darf Dein Geheimnis sein, und wenn es Dir des nächtens mit einer Engelfeder auf die Fensterbank gelegt wurde, ist es ebensogut wie ein [mm] \delta, [/mm] welches Du durch langwierige, mühsame Rechnungen gefunden hast.
Allein dies zählt: Du mußt nun vorrechnen, daß Dein [mm] \delta [/mm] funktioniert!
[mm] (\delta
Klar habe ich mein [mm] \delta [/mm] gefunden, indem ich auf dem Zeitungsrand ein bißchen was geschreiben habe - aber den gibt man natürlich nicht mit ab...
Wenn ich mit meinen Geheimnissen fertig bin, fange ich einfach an:
Sei [mm] n\in \IN [/mm] und [mm] x_0\in [/mm] ]n,n+1[.
Sei [mm] \varepsilon>0. [/mm] Wähle [mm] \delta:=\min\{x_0-n, n+1-x_0, ...\} [/mm] (Die Pünktchen fülle ich später aus)
Für x mit [mm] |x-x_0|<\delta [/mm] gilt [mm] |f(x)-f(x_0)|=|x-[x]-x_0+[x_0]|=| [/mm] ??? | [mm] <\delta [/mm] < ah! jetzt fällt's mir ein: ich schreibe jetzt schnell oben bei den Pünktchen [mm] \varepsilon [/mm] hin und bin am Ziel.
>
> Ansonsten finde ich dieses Ergbnis wirklich ohisch
Oh.
Gruß v. Angela
> - hatte
> es mi auch schon geometrisch angesehen und fand es sehr
> effektiv!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 Mi 16.12.2009 | | Autor: | LariC |
Ok...das hast du wirklich anschaulich erklärt und ich habe es auch verstanden, aber jetzt habe ich halt wieder versucht dieses Epsilon zu errechnen und bin jetzt zu dem Entschluss gekommen, dass ich da dann doch auch zwei Rechnungen benötigen würde, je nachdem welcher der bedien Wert e gerade das Minimum ist, oder nicht!?
Ansonsten wüsste ich nicht, was ich jetzt für [x] und [x0] einsetzten muss, denn ich würde da jetzt einfach die beiden Grenzen eionsetzten und dann gucken was ich für eine Abschätzung für epsilon machen kann...
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> Ok...das hast du wirklich anschaulich erklärt und ich habe
> es auch verstanden, aber jetzt habe ich halt wieder
> versucht dieses Epsilon zu errechnen
Hallo,
das epsilon ist vorgegeben, da gibt's nichts zu berechnen.
> und bin jetzt zu dem
> Entschluss gekommen, dass ich da dann doch auch zwei
> Rechnungen benötigen würde, je nachdem welcher der bedien
> Wert e gerade das Minimum ist, oder nicht!?
Nein. ich habe es so eingefädelt, daß mein [mm] \delta [/mm] der kleinste der drei Werte [mm] x_0-n, n+1-x_0 [/mm] und [mm] \varepsilon [/mm] ist.
Aufgrund dieser Wahl liegt in jedem Fall das x zwischen n und n+1, ist also [mm] [x]=[x_0].
[/mm]
Aufgrund dieser Wahl ist aber auch [mm] |x-x_0| <\varepsion.
[/mm]
Gruß v. Angela
> Ansonsten wüsste ich nicht, was ich jetzt für [x] und
> [x0] einsetzten muss, denn ich würde da jetzt einfach die
> beiden Grenzen eionsetzten und dann gucken was ich für
> eine Abschätzung für epsilon machen kann...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:02 Mi 16.12.2009 | | Autor: | LariC |
Achso, dann wäre das also so:
Ix-x0I ist also:
Ix0-x0I < [mm] \delta
[/mm]
und daher gilt 0< [mm] \delta [/mm] somit:
[mm] \varepsilon>0 [/mm] und da wir in der Menge das Minimum haben wars das, da es einen diser werte bloß annehmene muss!
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> Achso, dann wäre das also so:
Hallo,
schön, wenn Du's jetzt verstanden hast, aber das, was Du hier schreibst, verstehe ich überhaupt nicht...
Gruß v. Angela
> Ix-x0I ist also:
> Ix0-x0I < [mm]\delta[/mm]
> und daher gilt 0< [mm]\delta[/mm] somit:
> [mm]\varepsilon>0[/mm] und da wir in der Menge das Minimum haben
> wars das, da es einen diser werte bloß annehmene muss!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:13 Mi 16.12.2009 | | Autor: | LariC |
Schade, aber ich glaube ich habe es wirjlich verstanden, also ich versuche es dann nochmal:
Wir nehmen am Anfang an, das
[mm] \varepsilon>0 [/mm] sei und wir [mm] \delta< [/mm] min [mm] {x0-n,n+1-x0,\varepsilon} [/mm] haben.
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X mit [mm] Ix-x0I<\delta
[/mm]
If(x)-f(xo)I= Ix-[x]-(x0-[x0]I ,da [x]=[x0]
[mm] Ix-x0I<\delta [/mm] und das ist ja genau die Voraussetzung, also gilt für das obige Intervall stetigkeit für jedes minimum delta dieses Intervalls.
Ich hoffe das das jetzt soweit korrekt ist :)
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> Schade, aber ich glaube ich habe es wirjlich verstanden,
> also ich versuche es dann nochmal:
[mm] n\in \IN, x_0\in [/mm] ]n,n+1[.
>
> Wir nehmen am Anfang an, das
> [mm]\varepsilon>0[/mm] sei und wir [mm]\delta<[/mm] min
> [mm]{x0-n,n+1-x0,\varepsilon}[/mm] haben.
Wir können wählen [mm] \delta:=min\{x_0-n,n+1-x_0,\varepsilon\}.
[/mm]
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] X mit [mm]Ix-x0I<\delta[/mm]
> If(x)-f(xo)I= Ix-[x]-(x0-[x0]I ,da [x]=[x0]
> [mm]Ix-x0I<\delta[/mm]
= s.o. < [mm] \varepsilon
[/mm]
> also
> gilt für das obige Intervall stetigkeit für jedes minimum delta
[mm] x_0
[/mm]
> dieses Intervalls.
>
Gruß v. Angela
> Ich hoffe das das jetzt soweit korrekt ist :)
P.S.: Unterm Eingabefenster findet man Hilfen für die Formeleingabe. Gescheite betragsstriche, Indizes und vieles mehr ist möglich.
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