Stetigkeit zeigen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Untersuche die folgenden Funktionen auf Stetigkeit:
a) f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] f(x) = [mm] \begin{cases} x+ \bruch{x+1}{|x+1|}, & \mbox{für } x \not= -1 \\ 0, & \mbox{für } x=-1 \end{cases} [/mm] |
Habe ich richtig gerechnet?
(x [mm] \to [/mm] -1) 0 [mm] \leftarrow x+1 = x+ \bruch{|x+1|}{|x+1|} \le x+ \bruch{x+1}{|x+1|} \le x+ \bruch{x+1}{x+1} = x+1 \to 0 (x \to -1)
[/mm] [mm] \Rightarrow [/mm] f ist stetig in x=-1
|
|
| |
|
Hallo fagottator,
> Untersuche die folgenden Funktionen auf Stetigkeit:
> a) f: [mm]\IR \to \IR,[/mm] f(x) = [mm]\begin{cases} x+ \bruch{x+1}{|x+1|}, & \mbox{für } x \not= -1 \\ 0, & \mbox{für } x=-1 \end{cases}[/mm]
>
> Habe ich richtig gerechnet?
>
> (x [mm]\to[/mm] -1) 0 [mm]\leftarrow x+1 = x+ \bruch{|x+1|}{|x+1|} \le x+ \bruch{x+1}{|x+1|} \le x+ \bruch{x+1}{x+1} = x+1 \to 0 (x \to -1)
[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] f ist stetig in x=-1 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Ein Blick auf den Graphen genügt, um zu sehen, dass dies nicht sein kann!
[Dateianhang nicht öffentlich]
Berechne mal den linksseitigen und den rechtsseitigen Limes von $f(x)$ für [mm] $x\uparrow \downarrow [/mm] -1$
Schreibe dazu die Funktion betragsfrei.
Wie sieht's linksseitig aus, also für $x<-1$, wie rechtsseitig, also für $x>-1$ ?
Du siehst seht schnell, dass linksseitiger und rechtsseitiger Limes nicht übereinstimmen, also kann auch keine Stetigkeit vorliegen.
Gruß
schachuzipus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
> Schreibe dazu die Funktion betragsfrei.
Genau hier liegt das Problem... der Betrag stört mich ja auch, aber ich weiß nicht wie ich ihn wegkriege...
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> > Schreibe dazu die Funktion betragsfrei.
>
> Genau hier liegt das Problem... der Betrag stört mich ja
> auch, aber ich weiß nicht wie ich ihn wegkriege...
>
>
Schlage nach, wie der Betrag definiert ist ...
Es ist [mm] $|z|=\begin{cases} z, & \mbox{für } z\ge 0 \\ -z, & \mbox{für } z<0 \end{cases}$
[/mm]
Hier also [mm] $|x+1|=\begin{cases} x+1, & \mbox{für } x+1>0 \\ -(x+1), & \mbox{für } x+1<0 \end{cases}=\begin{cases} x+1, & \mbox{für } x>-1 \\ -(x+1), & \mbox{für } x<-1 \end{cases}$
[/mm]
Damit vereinfacht sich der Funktionsterm beträchtlich, und du kannst die entsprechenden Grenzbetrachtungen locker durchführen ..
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:08 Mo 15.02.2010 | | Autor: | fagottator |
Jetzt aber... manchmal hat man einfach ein Brett vor dem Kopf... Danke, hat jetzt geklappt.
|
|
|
|
