Stetigkeit zeigen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zeigen Sie die Stetigkeit des folgenden Ausdrucks:
$f: [mm] \IR \to \IR, f(x):=\begin{cases} e^{-\bruch{1}{x}}, & \mbox{für } x > 0 \\ 0, & \mbox{für } x \le 0 \end{cases}.$ [/mm] |
Hallo,
die obige Aufgabe ist keine Übungsaufgabe und dient nur dazu, dass ich meine "Stetigkeits-Skills" etwas verbessere. Es wäre sehr nett, wenn jemand bei Gelegenheit meine untenstehende Lösung korrigieren könnte.
Für den 1. Fall:
[mm] $e^{-\bruch{1}{x}}$ [/mm] und $x>0.$ Da die e-Funktion stetig ist und auch [mm] $-\bruch{1}{x}$ [/mm] für $x>0$ stetig ist und die Komposition stetiger Funktionen stetig ist, ist [mm] $e^{-\bruch{1}{x}}$ [/mm] stetig.
Für $x>0$ ist $f(x)$ also stetig.
Für den 2. Fall:
Es gilt $f(x) [mm] \ge [/mm] x$ für $x [mm] \le [/mm] 0.$
Ist nun [mm] $(x_{n})$ [/mm] irgendeine Nullfolge, so gilt $f(x) [mm] \ge [/mm] x$ für jedes n.
Damit ist [mm] $f(x_{n})$ [/mm] eine Nullfolge.
Also: aus [mm] $x_{n} \to [/mm] 0$ folgt [mm] $f(x_{n}) \to [/mm] 0=f(0)$
Vielen Dank für die Mühe und Unterstützung!
Gruß
el_grecco
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:45 Fr 21.01.2011 | | Autor: | dormant |
> Zeigen Sie die Stetigkeit des folgenden Ausdrucks:
>
> [mm]f: \IR \to \IR, f(x):=\begin{cases} e^{-\bruch{1}{x}}, & \mbox{für } x > 0 \\ 0, & \mbox{für } x \le 0 \end{cases}.[/mm]
>
> Hallo,
>
> die obige Aufgabe ist keine Übungsaufgabe und dient nur
> dazu, dass ich meine "Stetigkeits-Skills" etwas verbessere.
> Es wäre sehr nett, wenn jemand bei Gelegenheit meine
> untenstehende Lösung korrigieren könnte.
>
> Für den 1. Fall:
> [mm]e^{-\bruch{1}{x}}[/mm] und [mm]x>0.[/mm] Da die e-Funktion stetig ist
> und auch [mm]-\bruch{1}{x}[/mm] für [mm]x>0[/mm] stetig ist und die
> Komposition stetiger Funktionen stetig ist, ist
> [mm]e^{-\bruch{1}{x}}[/mm] stetig.
> Für [mm]x>0[/mm] ist [mm]f(x)[/mm] also stetig.
Ja.
> Für den 2. Fall:
> Es gilt [mm]f(x) \ge x[/mm] für [mm]x \le 0.[/mm]
> Ist nun [mm](x_{n})[/mm]
> irgendeine Nullfolge, so gilt [mm]f(x) \ge x[/mm] für jedes n.
> Damit ist [mm]f(x_{n})[/mm] eine Nullfolge.
Nein, es stimmt nicht, dass f(x) [mm] \ge [/mm] x. Ich weiß auch nicht wie das die Konvergenz von [mm] f(x_n) [/mm] zeigen soll. Ich würde sie explizit mit dem [mm] \epsilon [/mm] Kriterium nachweisen, wenn es sein muss. Oder einfach benutzen, dass der Exponent gegen [mm] -\infty [/mm] geht.
> Also: aus [mm]x_{n} \to 0[/mm] folgt [mm]f(x_{n}) \to 0=f(0)[/mm]
>
>
> Vielen Dank für die Mühe und Unterstützung!
>
> Gruß
> el_grecco
>
dormant
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Zeigen Sie die Stetigkeit des folgenden Ausdrucks:
$ f: [mm] \IR \to \IR, f(x):=\begin{cases} e^{-\bruch{1}{x}}, & \mbox{für } x > 0 \\ 0, & \mbox{für } x \le 0 \end{cases}. [/mm] $ |
Hallo dormant,
danke für Deine Antwort.
> > Für den 2. Fall:
> > Es gilt [mm]f(x) \ge x[/mm] für [mm]x \le 0.[/mm]
> > Ist nun [mm](x_{n})[/mm]
> > irgendeine Nullfolge, so gilt [mm]f(x) \ge x[/mm] für jedes n.
> > Damit ist [mm]f(x_{n})[/mm] eine Nullfolge.
>
> Nein, es stimmt nicht, dass f(x) [mm]\ge[/mm] x. Ich weiß auch
> nicht wie das die Konvergenz von [mm]f(x_n)[/mm] zeigen soll. Ich
> würde sie explizit mit dem [mm]\epsilon[/mm] Kriterium nachweisen,
> wenn es sein muss. Oder einfach benutzen, dass der Exponent
> gegen [mm]-\infty[/mm] geht.
>
> > Also: aus [mm]x_{n} \to 0[/mm] folgt [mm]f(x_{n}) \to 0=f(0)[/mm]
Rein theoretisch müsste man doch die Stetigkeit mit jedem beliebigen Kriterium beweisen können; ich riskiere es deshalb nochmal über das Folgenkriterium.
Etwas überarbeitet:
Für den 2. Fall:
Es gilt [mm]f(x) = 0\!\[/mm] für [mm]x \le 0.[/mm]
Ist nun [mm](x_{n})[/mm] irgendeine Nullfolge, so gilt [mm]f(x_{n}) = 0[/mm] für jedes n.
Damit ist [mm]f(x_{n})[/mm] eine Nullfolge.
Also: aus $ [mm] x_{n} \to [/mm] 0 $ folgt $ [mm] f(x_{n}) \to [/mm] 0$
Hoffe alles passt so.
> dormant
Gruß
el_grecco
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Fr 21.01.2011 | | Autor: | dormant |
> Zeigen Sie die Stetigkeit des folgenden Ausdrucks:
>
> [mm]f: \IR \to \IR, f(x):=\begin{cases} e^{-\bruch{1}{x}}, & \mbox{für } x > 0 \\ 0, & \mbox{für } x \le 0 \end{cases}.[/mm]
>
> Hallo dormant,
>
> danke für Deine Antwort.
>
> > > Für den 2. Fall:
> > > Es gilt [mm]f(x) \ge x[/mm] für [mm]x \le 0.[/mm]
> > > Ist nun
> [mm](x_{n})[/mm]
> > > irgendeine Nullfolge, so gilt [mm]f(x) \ge x[/mm] für jedes n.
> > > Damit ist [mm]f(x_{n})[/mm] eine Nullfolge.
> >
> > Nein, es stimmt nicht, dass f(x) [mm]\ge[/mm] x. Ich weiß auch
> > nicht wie das die Konvergenz von [mm]f(x_n)[/mm] zeigen soll. Ich
> > würde sie explizit mit dem [mm]\epsilon[/mm] Kriterium nachweisen,
> > wenn es sein muss. Oder einfach benutzen, dass der Exponent
> > gegen [mm]-\infty[/mm] geht.
> >
> > > Also: aus [mm]x_{n} \to 0[/mm] folgt [mm]f(x_{n}) \to 0=f(0)[/mm]
>
> Rein theoretisch müsste man doch die Stetigkeit mit jedem
> beliebigen Kriterium beweisen können; ich riskiere es
> deshalb nochmal über das Folgenkriterium.
Es geht. Ich schlage auch nichts anderes vor. Ich meinte die Konvergenz von [mm] f(x_n) [/mm] über ein [mm] \epsilon [/mm] Kriterium beweisen, oder über die Rechenregeln für konvergente Folgen.
> Etwas überarbeitet:
>
> Für den 2. Fall:
> Es gilt [mm]f(x) = 0\!\[/mm] für [mm]x \le 0.[/mm]
> Ist nun [mm](x_{n})[/mm]
> irgendeine Nullfolge, so gilt [mm]f(x_{n}) = 0[/mm] für jedes n.
Nein. Z.B. für [mm] x_n=\bruch{1}{n} [/mm] ist [mm] f(x_n)>0 [/mm] für alle n. Du solltest entweder schreiben, dass der Exponent gegen [mm] -\infty [/mm] geht, oder so anfagen:
Sei ein [mm] \epsilon>0 [/mm] vorgegeben. Zu zeigen ist, dass ab einem N [mm] f(x_n)<\epsilon [/mm] für alle n>N. Da [mm] x_n [/mm] Nullfolge, so gibt es ein N, so dass [mm] x_n <\delta=-\bruch{1}{\ln \epsilon} [/mm] für alle n>N...
> Damit ist [mm]f(x_{n})[/mm] eine Nullfolge.
> Also: aus [mm]x_{n} \to 0[/mm] folgt [mm]f(x_{n}) \to 0[/mm]
>
> Hoffe alles passt so.
>
> > dormant
>
> Gruß
> el_grecco
>
dormant
|
|
|
| |
|
Aufpassen, meiner Ansicht nach redet ihr aneinander vorbei:
Er argumentiert gerade (überflüssigerweise) im Bereich x<0 (ich lasse den Fall x=0 mit Absicht draußen).
Dort gilt in der Tat, dass f(x) > x, denn f(x) = 0 und x < 0.
Aber das ist eh unwichtig, weil man die Stetigkeit einer konstanten Funktion (und das ist f für x<0) sicher nicht mit schwergewichtigen Kriterien zeigen muss.
Interessant ist also nur die Stelle x=0.
Über das Folgenkriterium müssen jetzt von links wie von rechts die Folgen entsprechend konvergieren. Von links ist das wieder trivial, weil ja f(x) = 0 laut Definition der Funktion gilt.
Von rechts ist also der einzige Fall, den man sich genauer anschauen muss.
Sei also [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Nullfolge mit [mm] x_n [/mm] > 0 für alle n.
Dann gilt (aufgrund der "elementaren Eigenschaften" der e-Funktion), dass
[mm] $f(x_n) [/mm] = [mm] e^{-\frac{1}{x_n}} \to [/mm] 0$
Grund: Der Exponent geht gegen - [mm] \infty, [/mm] und die Potenz somit gegen 0.
Das sollte es dann aber auch tun. Oder statt des Verwendens solcher Erkenntnisse über die e-Funktion eben der Weg über das von dormant genannte [mm] \delta, [/mm] das geht auch gut und man muss eben kein Wissen über das Konvergenzverhalten der e-Funktion voraussetzen.
lg weightgainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:22 Fr 21.01.2011 | | Autor: | el_grecco |
1000 Dank für Deinen Beitrag, weightgainer!!! 
Du hast mir damit wirklich sehr geholfen und jetzt ist die Aufgabe klar.
Ein schönes Wochenende!
Gruß
el_grecco
|
|
|
|
