Stetigkeit zeigen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:11 Fr 23.03.2012 | | Autor: | Frosch20 |
| Aufgabe | | In welchen Punkten ist die Funktion f(x):=[x] stetig |
Also mein Problem ist, dass ich stetigkeiten irgendwie überhaupt nicht verstehe.
Der Tutor hat zu beginn eine Skizze der Funktion angezeichnet, und meinte daran würde man schon gut erkennen, dass die funktion in den ganzen zahlen nicht stetig ist.
Doch erkannt habe ich dies nicht.
Auch weiss ich immer noch nicht wie ich den beweis führen soll.
Es gibt ja das Epsilon-Delta Kriterium, sowie das Folgenkriterium.
Doch wenn ich nun annehme f ist in [mm] a\in\IR [/mm] \ [mm] \IZ [/mm] stetig.
Dann müsste doch irgendwie ein delta wählen.
Ich hätte also |[x]-[a]|< [mm] \delta
[/mm]
Also müsste man irgendwie das x abschätzen, da es eine gaußklammer ist, wird aufjedenfahl eine ganze zahl rauskommen.
Aber irgendwie weiss ich überhaupt nicht was ich tun soll.
Für Hilfe wäre ich sehr danke.
mfg. Lé Frog :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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moin,
Dein Tutor hat Recht, die Anschauung und eine Skizze kann hier sehr hilfreich sein.
Veranschauliche dir zuerst an einigen anderen Graphen das [mm] $\epsilon-\delta$-Kriterium.
[/mm]
Du legst um einen Punkt auf dem Graphen einen Streifen der Breite [mm] $\epsilon$ [/mm] und guckst dann: findest du zu diesem Streifen einen [mm] $\delta$-Streifen [/mm] auf der $x$-Achse, sodass alle Funktionswerte innerhalb des [mm] $\delta$-Streifens [/mm] auch innerhalb des [mm] $\epsilon$-Streifens [/mm] liegen?
Ich weiß, das klingt recht kompliziert, aber ist es, wenn man es sich einmal richtig klar gemacht hat, gar nicht.
Male dir hierzu wie gesagt eine ganze Reihe Bildchen, lies es vielleicht nochmal in verschiedenen Quellen nach oder google Skizzen etc. dazu, bis du dieses Kriterium verstanden hast.
Dann kannst du es auf die Funktion anwenden.
Nimm dir dafür einen Punkt auf dem Graphen her und zeichne dir erstmal einen beliebigen [mm] $\epsilon$-Streifen [/mm] drum herum.
Dann überlege dir, erstmal ohne zu rechnen und nur am Bild, wie du dein [mm] $\delta$ [/mm] wählen solltest, damit alles innerhalb des Rechtecks liegt.
Bedenke dafür, dass du sowohl das [mm] $\epsilon$ [/mm] als auch das [mm] $x_0$ [/mm] (der Punkt, in dem du Stetigkeit zeigen möchtest) verwenden darfst, um dein [mm] $\delta$ [/mm] zu bestimmen (Tipp: Du wirst sie beide brauchen, mit nur einem wirst du nicht auskommen).
Wenn du ein [mm] $\delta$ [/mm] gefunden hast, von dem du denkst, dass es für alle [mm] $\epsilon$ [/mm] (große, kleine, dicke, dünne,...) funktioniert, dann kannst du dich an den allgemeinen Beweis machen.
Schließlich musst du zum Schluss noch zeigen, dass $f$ in [mm] $\IZ$ [/mm] nicht stetig ist, aber das sollte wenn du den ersten Teil geschafft hast kein großes Problem mehr darstellen.
lg
Schadow
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:04 Sa 24.03.2012 | | Autor: | fred97 |
Mach es so: nimm Dir ein k [mm] \in \IZ [/mm] her.
Dann ist f auf dem offenen Intervall (k,k+1) konstant, also dort auch stetig.
Zeige dann, [mm] \limes_{x\rightarrow k}f(x) [/mm] nicht existiert.
Damit ist f in k nicht stetig.
Da k beliebig aus [mm] \IZ [/mm] war, bist Du fertig.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Sa 24.03.2012 | | Autor: | Frosch20 |
> moin,
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> Dein Tutor hat Recht, die Anschauung und eine Skizze kann
> hier sehr hilfreich sein.
> Veranschauliche dir zuerst an einigen anderen Graphen das
> [mm]\epsilon-\delta[/mm]-Kriterium.
> Du legst um einen Punkt auf dem Graphen einen Streifen der
> Breite [mm]\epsilon[/mm] und guckst dann: findest du zu diesem
> Streifen einen [mm]\delta[/mm]-Streifen auf der [mm]x[/mm]-Achse, sodass alle
> Funktionswerte innerhalb des [mm]\delta[/mm]-Streifens auch
> innerhalb des [mm]\epsilon[/mm]-Streifens liegen?
> Ich weiß, das klingt recht kompliziert, aber ist es, wenn
> man es sich einmal richtig klar gemacht hat, gar nicht.
> Male dir hierzu wie gesagt eine ganze Reihe Bildchen, lies
> es vielleicht nochmal in verschiedenen Quellen nach oder
> google Skizzen etc. dazu, bis du dieses Kriterium
> verstanden hast.
Ah okay ich glaube ich habe das nun verstanden. Den für kleine Epsilon, liegen die Funktionswerte, aufgrund des Sprunges nicht mehr im Rechteck.
Deswegen ist die Funktion auch in diesen Punkten unstetig.
Also ist die Funktion nur in [mm] x0\in(k,k+1) [/mm] stetig.
Da dort für jede noch so kleine Epsilonumgebung, ein Delta gefunden werden kann, sodass alle Funktionswerte innerhalb dieser Umgebung liegen. Das schränkt allerdings die Wahl des Deltas bereits ein.
> Dann kannst du es auf die Funktion anwenden.
> Nimm dir dafür einen Punkt auf dem Graphen her und
> zeichne dir erstmal einen beliebigen [mm]\epsilon[/mm]-Streifen drum
> herum.
> Dann überlege dir, erstmal ohne zu rechnen und nur am
> Bild, wie du dein [mm]\delta[/mm] wählen solltest, damit alles
> innerhalb des Rechtecks liegt.
> Bedenke dafür, dass du sowohl das [mm]\epsilon[/mm] als auch das
> [mm]x_0[/mm] (der Punkt, in dem du Stetigkeit zeigen möchtest)
> verwenden darfst, um dein [mm]\delta[/mm] zu bestimmen (Tipp: Du
> wirst sie beide brauchen, mit nur einem wirst du nicht
> auskommen).
Wäre also x0:=2,5 der Stetigkeitspunkt, bzw. der Punkt in dem die funktion stetig sein soll, dann darf das Delta nicht kleiner als 2, bzw. größer als 3 sein.
Also müsste ich [mm] \delta:=|x0-k| [/mm] setzen, für [mm] k\in\IZ
[/mm]
Allerdings müsste man doch das k noch einschränken oder nicht ?
Sonst wird die Delta Umgebung zu groß, und es liegen wieder nicht alle Funktionswerte in Unserer Umgebung, oder ?
> Schließlich musst du zum Schluss noch zeigen, dass [mm]f[/mm] in
> [mm]\IZ[/mm] nicht stetig ist, aber das sollte wenn du den ersten
> Teil geschafft hast kein großes Problem mehr darstellen.
Das hätte ich wohl so wie fred vorgeschlagen hat, über die Folgendefintion lösen. Den da kriegt man zwei unterschiedliche Werte raus, ergo ist die Funktion dort Unstetig.
Wenn ich das richtig, sehe sind beide Definitionen äquivalent zueinander. Man kann also durchaus immer beides verwenden, oder ?
Vielen dank schonmal für die Hilfe :)
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> Wäre also x0:=2,5 der Stetigkeitspunkt, bzw. der Punkt in
> dem die funktion stetig sein soll, dann darf das Delta
> nicht kleiner als 2, bzw. größer als 3 sein.
Huch?
Ich würde das [mm] $\delta$ [/mm] hier kleiner als 0,5 machen.
Wie kommst du auf 2 oder 3?
> Also müsste ich [mm]\delta:=|x0-k|[/mm] setzen, für [mm]k\in\IZ[/mm]
> Allerdings müsste man doch das k noch einschränken oder
> nicht ?
> Sonst wird die Delta Umgebung zu groß, und es liegen
> wieder nicht alle Funktionswerte in Unserer Umgebung, oder
> ?
Ja.
Überlege dir, wie genau du es einschränken solltest.
Wenn du eine Idee hast, guck mal, ob es sowohl für [mm] $x_0 [/mm] = 1,1$ als auch für [mm] $x_0 [/mm] = 1,9$ funktioniert, also sowohl am unteren Rand eines Intervalls als auch am oberen.
> Wenn ich das richtig, sehe sind beide Definitionen
> äquivalent zueinander. Man kann also durchaus immer beides
> verwenden, oder ?
Ja, sind sie.
Das sollte aber auch irgendwo in deinem Skript stehen und in der Vorlesung bewiesen worden sein, denn einen Beweis ist das schon wert, es fällt nicht unter "offensichtlich gilt".
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 So 25.03.2012 | | Autor: | Frosch20 |
> > Wäre also x0:=2,5 der Stetigkeitspunkt, bzw. der Punkt in
> > dem die funktion stetig sein soll, dann darf das Delta
> > nicht kleiner als 2, bzw. größer als 3 sein.
>
> Huch?
> Ich würde das [mm]\delta[/mm] hier kleiner als 0,5 machen.
> Wie kommst du auf 2 oder 3?
Also ich meinte damit eigentlich, Graphisch gesehen. Also man darf nicht weiter nach links gehen als zwei, und nicht weiter nach rechts als 3 (also auf der x-Achse).
Das Delta darf man natürlich nicht als 2 wählen. Wäre dann in etwa das selbe wie Delta kleiner als 0,5, wobei genau 0,5 auch noch funktionieren würde, da man ja dann das Intervall I(2,3) betrachten würde, oder ?
> > Also müsste ich [mm]\delta:=|x0-k|[/mm] setzen, für [mm]k\in\IZ[/mm]
> > Allerdings müsste man doch das k noch einschränken
> oder
> > nicht ?
> > Sonst wird die Delta Umgebung zu groß, und es liegen
> > wieder nicht alle Funktionswerte in Unserer Umgebung, oder
> > ?
> Ja.
> Überlege dir, wie genau du es einschränken solltest.
> Wenn du eine Idee hast, guck mal, ob es sowohl für [mm]x_0 = 1,1[/mm]
> als auch für [mm]x_0 = 1,9[/mm] funktioniert, also sowohl am
> unteren Rand eines Intervalls als auch am oberen.
Ich könnte das Delta so wählen, das der Abstand Zwischen den beiden Punkten, am kleinsten wird.
Also das Minimum nehmen, dann müsste es überall passen. Aber darf man das so hinschreiben
[mm] \delta:=min k\in\IZ [/mm] {|k-xo|}
> > Wenn ich das richtig, sehe sind beide Definitionen
> > äquivalent zueinander. Man kann also durchaus immer beides
> > verwenden, oder ?
>
> Ja, sind sie.
> Das sollte aber auch irgendwo in deinem Skript stehen und
> in der Vorlesung bewiesen worden sein, denn einen Beweis
> ist das schon wert, es fällt nicht unter "offensichtlich
> gilt".
Ja stimmt, es steht im Skript drin, wurde allerdings in der Vorlesung übergangen. Wir hatten etwas Zeitdruck. Ich werde mir den Beweis nochmal genau zu gemüte führen.
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> Ich könnte das Delta so wählen, das der Abstand Zwischen
> den beiden Punkten, am kleinsten wird.
> Also das Minimum nehmen, dann müsste es überall passen.
> Aber darf man das so hinschreiben
>
> [mm]\delta:=min k\in\IZ[/mm] {|k-xo|}
Ja, das könntest du so schreiben.
Ich würde dir aber raten nur die 2 relevanten $k$ zu nehmen, damit du nicht ganz so viele $k$ zur Berechnung des Minimum einzusetzen brauchst.
Also [mm] $\delta [/mm] := [mm] min\{([x_0]+1-x_0),(x_0-[x_0])\}$
[/mm]
lg
Schadow
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