Stetigkeit zweier Intervalle < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:24 Sa 05.03.2011 | | Autor: | ixxini |
| Aufgabe | Es sei nun D [mm] \subset \IR [/mm] die Vereinigung zweier Intervalle (a,b) und [c,d) (dh. das erste ist offen, das zweite ist halboffen). Es sei f: [mm] D->\IR [/mm] eine Funktion, so dass die Einschränkung von f auf (a,b) stetig ist, und so dass die Einschränkung von f auf [c,d) stetig ist. Folgt daraus, das f notwendigerweise stetig auf ganz D ist.
Geben Sie eine kurze Begründung für Ihre Antwort. D.h. geben Sie entweder ein kurzes Argument, warum f stetig ist, oder geben Sie ein Beispiel welches alle genannten Voraussetzungen erfüllt, aber nicht stetig auf D ist. |
Die Lösung der Aufgabe haben wir bereits erhalten. Leider verstehe ich nicht, warum so argumentiert werden kann. Meine genaue Frage stelle ich besser nach der offiziellen Lösung:
Es ist eine gute Übung, genau hinzusehen, wo das vorhergehende Argument (Anm: dabei ging es um die Vereinigung zweier offener Intervalle) hier nicht mehr anwendbar ist.
Ein Gegenbeispiel konstruiert man leicht mit den Ergebnissen aus Aufgabe 1c. Seien nämlich f: (a,b] -> [mm] \IR [/mm] und g: [b,c)-> [mm] \IR [/mm] stetige Funktionen, so dass f(b) [mm] \not= [/mm] g(b) und sei h: (a,c)-> [mm] \IR [/mm] definiert durch hI(a,b]=f und hI[b,c)=g. Dann haben wir gesehen, dass h nicht stetig im Punkt b ist.
Zu meiner Frage: Ich verstehe, warum Stetigkeit nicht funktioniert, wenn f: (a, b ]-> [mm] \IR [/mm] und g: [b,c)-> [mm] \IR [/mm] wenn f(b) [mm] \not= [/mm] g(b). Allerdings war in der Aufgabenstellung von einem offenen und einem halboffenen Intervall die Rede. Wenn in diesem Fall (f: (a,b)-> [mm] \IR [/mm] und g:[b,c)- [mm] \IR [/mm] nun allerdings f(b)ungleich g(b) ist, dürfte das doch e.E. kein Problem darstellen, da die Funktion h in so einem Fall ja h(b)=g(b) wäre und nicht f(b). Schließlich liegt f(b) nicht mehr im Definitionsbereich. Was habe ich denn nun falsch verstanden? Für mich hat die Lösung der Aufgabe den Bezug zur Aufgabenstellung verloren =(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 Sa 05.03.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Es sei nun D [mm]\subset \IR[/mm] die Vereinigung zweier Intervalle
> (a,b) und [c,d) (dh. das erste ist offen, das zweite ist
> halboffen). Es sei f: [mm]D->\IR[/mm] eine Funktion, so dass die
> Einschränkung von f auf (a,b) stetig ist, und so dass die
> Einschränkung von f auf [c,d) stetig ist. Folgt daraus,
> das f notwendigerweise stetig auf ganz D ist.
> Geben Sie eine kurze Begründung für Ihre Antwort. D.h.
> geben Sie entweder ein kurzes Argument, warum f stetig ist,
> oder geben Sie ein Beispiel welches alle genannten
> Voraussetzungen erfüllt, aber nicht stetig auf D ist.
> Die Lösung der Aufgabe haben wir bereits erhalten. Leider
> verstehe ich nicht, warum so argumentiert werden kann.
> Meine genaue Frage stelle ich besser nach der offiziellen
> Lösung:
>
> Es ist eine gute Übung, genau hinzusehen, wo das
> vorhergehende Argument (Anm: dabei ging es um die
> Vereinigung zweier offener Intervalle) hier nicht mehr
> anwendbar ist.
> Ein Gegenbeispiel konstruiert man leicht mit den
> Ergebnissen aus Aufgabe 1c. Seien nämlich f: (a,b] -> [mm]\IR[/mm]
> und g: [b,c)-> [mm]\IR[/mm] stetige Funktionen, so dass f(b) [mm]\not=[/mm]
> g(b) und sei h: (a,c)-> [mm]\IR[/mm] definiert durch hI(a,b]=f und
> hI[b,c)=g. Dann haben wir gesehen, dass h nicht stetig im
> Punkt b ist.
>
>
> Zu meiner Frage: Ich verstehe, warum Stetigkeit nicht
> funktioniert, wenn f: (a, b ]-> [mm]\IR[/mm] und g: [b,c)-> [mm]\IR[/mm]
> wenn f(b) [mm]\not=[/mm] g(b). Allerdings war in der
> Aufgabenstellung von einem offenen und einem halboffenen
> Intervall die Rede. Wenn in diesem Fall (f: (a,b)-> [mm]\IR[/mm] und
> g:[b,c)- [mm]\IR[/mm] nun allerdings f(b)ungleich g(b) ist, dürfte
> das doch e.E. kein Problem darstellen, da die Funktion h in
> so einem Fall ja h(b)=g(b) wäre und nicht f(b).
> Schließlich liegt f(b) nicht mehr im Definitionsbereich.
Das reicht keinesfalls aus für die Stetigkeit. Wenn z.B. die Funktion f konstant gleich 1 und g konstant gleich 2 ist, dann ist die Funktion h im Punkt b nicht stetig.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:44 Sa 05.03.2011 | | Autor: | ixxini |
> Hallo!
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> > Es sei nun D [mm]\subset \IR[/mm] die Vereinigung zweier Intervalle
> > (a,b) und [c,d) (dh. das erste ist offen, das zweite ist
> > halboffen). Es sei f: [mm]D->\IR[/mm] eine Funktion, so dass die
> > Einschränkung von f auf (a,b) stetig ist, und so dass die
> > Einschränkung von f auf [c,d) stetig ist. Folgt daraus,
> > das f notwendigerweise stetig auf ganz D ist.
> > Geben Sie eine kurze Begründung für Ihre Antwort.
> D.h.
> > geben Sie entweder ein kurzes Argument, warum f stetig ist,
> > oder geben Sie ein Beispiel welches alle genannten
> > Voraussetzungen erfüllt, aber nicht stetig auf D ist.
> > Die Lösung der Aufgabe haben wir bereits erhalten.
> Leider
> > verstehe ich nicht, warum so argumentiert werden kann.
> > Meine genaue Frage stelle ich besser nach der offiziellen
> > Lösung:
> >
> > Es ist eine gute Übung, genau hinzusehen, wo das
> > vorhergehende Argument (Anm: dabei ging es um die
> > Vereinigung zweier offener Intervalle) hier nicht mehr
> > anwendbar ist.
> > Ein Gegenbeispiel konstruiert man leicht mit den
> > Ergebnissen aus Aufgabe 1c. Seien nämlich f: (a,b] -> [mm]\IR[/mm]
> > und g: [b,c)-> [mm]\IR[/mm] stetige Funktionen, so dass f(b) [mm]\not=[/mm]
> > g(b) und sei h: (a,c)-> [mm]\IR[/mm] definiert durch hI(a,b]=f und
> > hI[b,c)=g. Dann haben wir gesehen, dass h nicht stetig im
> > Punkt b ist.
> >
> >
> > Zu meiner Frage: Ich verstehe, warum Stetigkeit nicht
> > funktioniert, wenn f: (a, b ]-> [mm]\IR[/mm] und g: [b,c)-> [mm]\IR[/mm]
> > wenn f(b) [mm]\not=[/mm] g(b). Allerdings war in der
> > Aufgabenstellung von einem offenen und einem halboffenen
> > Intervall die Rede. Wenn in diesem Fall (f: (a,b)-> [mm]\IR[/mm] und
> > g:[b,c)- [mm]\IR[/mm] nun allerdings f(b)ungleich g(b) ist, dürfte
> > das doch e.E. kein Problem darstellen, da die Funktion h in
> > so einem Fall ja h(b)=g(b) wäre und nicht f(b).
> > Schließlich liegt f(b) nicht mehr im Definitionsbereich.
>
> Das reicht keinesfalls aus für die Stetigkeit. Wenn z.B.
> die Funktion f konstant gleich 1 und g konstant gleich 2
> ist, dann ist die Funktion h im Punkt b nicht stetig.
>
> Viele Grüße
> Rainer
Ok gut, das ist mir nun klar. Aber darf man einfach die gegebenen Intervalle "erweitern" von offen auf halboffen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:48 Sa 05.03.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Hallo!
> >
> > > Es sei nun D [mm]\subset \IR[/mm] die Vereinigung zweier Intervalle
> > > (a,b) und [c,d) (dh. das erste ist offen, das zweite ist
> > > halboffen). Es sei f: [mm]D->\IR[/mm] eine Funktion, so dass die
> > > Einschränkung von f auf (a,b) stetig ist, und so dass die
> > > Einschränkung von f auf [c,d) stetig ist. Folgt daraus,
> > > das f notwendigerweise stetig auf ganz D ist.
> > > Geben Sie eine kurze Begründung für Ihre Antwort.
> > D.h.
> > > geben Sie entweder ein kurzes Argument, warum f stetig ist,
> > > oder geben Sie ein Beispiel welches alle genannten
> > > Voraussetzungen erfüllt, aber nicht stetig auf D ist.
> > > Die Lösung der Aufgabe haben wir bereits erhalten.
> > Leider
> > > verstehe ich nicht, warum so argumentiert werden kann.
> > > Meine genaue Frage stelle ich besser nach der offiziellen
> > > Lösung:
> > >
> > > Es ist eine gute Übung, genau hinzusehen, wo das
> > > vorhergehende Argument (Anm: dabei ging es um die
> > > Vereinigung zweier offener Intervalle) hier nicht mehr
> > > anwendbar ist.
> > > Ein Gegenbeispiel konstruiert man leicht mit den
> > > Ergebnissen aus Aufgabe 1c. Seien nämlich f: (a,b] -> [mm]\IR[/mm]
> > > und g: [b,c)-> [mm]\IR[/mm] stetige Funktionen, so dass f(b) [mm]\not=[/mm]
> > > g(b) und sei h: (a,c)-> [mm]\IR[/mm] definiert durch hI(a,b]=f und
> > > hI[b,c)=g. Dann haben wir gesehen, dass h nicht stetig im
> > > Punkt b ist.
> > >
> > > i
> > > Zu meiner Frage: Ich verstehe, warum Stetigkeit nicht
> > > funktioniert, wenn f: (a, b ]-> [mm]\IR[/mm] und g: [b,c)-> [mm]\IR[/mm]
> > > wenn f(b) [mm]\not=[/mm] g(b). Allerdings war in der
> > > Aufgabenstellung von einem offenen und einem halboffenen
> > > Intervall die Rede. Wenn in diesem Fall (f: (a,b)-> [mm]\IR[/mm] und
> > > g:[b,c)- [mm]\IR[/mm] nun allerdings f(b)ungleich g(b) ist, dürfte
> > > das doch e.E. kein Problem darstellen, da die Funktion h in
> > > so einem Fall ja h(b)=g(b) wäre und nicht f(b).
> > > Schließlich liegt f(b) nicht mehr im Definitionsbereich.
> >
> > Das reicht keinesfalls aus für die Stetigkeit. Wenn z.B.
> > die Funktion f konstant gleich 1 und g konstant gleich 2
> > ist, dann ist die Funktion h im Punkt b nicht stetig.
> >
> > Viele Grüße
> > Rainer
>
>
> Ok gut, das ist mir nun klar. Aber darf man einfach die
> gegebenen Intervalle "erweitern" von offen auf halboffen?
Ich verstehe die Frage nicht. Nach Voraussetzung hast du eine Funktion f, die auf dem offenen Intervall $(a,b)$ konstant gleich 1 und daher stetig ist, und eine Funktion g, die auf dem halboffenen Intervall $[b,c)$ konstant gleich 2 und damit dort stetig ist. Die zusammengesetzte Funktion h ist offensichtlich stetig außer im Punkt b.
Damit hast du ein Gegenbeispiel zur Ausgangsvermutung, dass die zusammengesetzte Funktion stetig ist.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 16:14 Sa 05.03.2011 | | Autor: | ixxini |
Dass h aufgrund deines Gegenbeispiels in b nicht stetig ist, habe ich verstanden. Allerdings verstehe ich die Argumentationsweise meines Dozenten (siehe Musterlösung) nicht. Ich weiß nicht, warum er in SEINEM Gegenbeispiel aus dem offenen Intervall ein halboffenes machen konnte.
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> Es sei nun D [mm]\subset \IR[/mm] die Vereinigung zweier Intervalle
> (a,b) und [c,d) (dh. das erste ist offen, das zweite ist
> halboffen). Es sei f: [mm]D->\IR[/mm] eine Funktion, so dass die
> Einschränkung von f auf (a,b) stetig ist, und so dass die
> Einschränkung von f auf [c,d) stetig ist. Folgt daraus,
> das f notwendigerweise stetig auf ganz D ist.
> Ein Gegenbeispiel konstruiert man leicht mit den
> Ergebnissen aus Aufgabe 1c. Seien nämlich f: (a,b] -> [mm]\IR[/mm]
> und g: [b,c)-> [mm]\IR[/mm] stetige Funktionen, so dass f(b) [mm]\not=[/mm]
> g(b) und sei h: (a,c)-> [mm]\IR[/mm] definiert durch [mm] h|_{(a,b\red{)}}=f [/mm] und
> [mm] h|_{[b,c)}=g. [/mm] Dann haben wir gesehen, dass h nicht stetig im
> Punkt b ist.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich habe oben einen Tippfehler korrigiert - vielleicht klärt sich damit schon Deine Irritation.
Ich erkläre nochmal kurz, was getan wird:
man nimmt zwei stetige Funktionen f, g,
wobei [mm] f:(a,b]\to \IR [/mm] und [mm] g:[b,c)\to \IR, [/mm]
bei denen an der Stelle b die Funktionswerte nicht übereinstimmen, also [mm] f(b)\not=g(b) [/mm] ist.
Aus diesen beiden Funktionen wird nun eine neue Funktion h gebastelt mit dem Definitionsbereich [mm] D:=(a,b)\cup [/mm] [b,c)=(a,c), und zwar so:
[mm]h(x):=\begin{cases} f(x), & \mbox{fuer } x\in (a,b) \\
g(x), & \mbox{fuer } x\in [b,c) \end{cases}[/mm].
Diese Funktion h erfüllt nun die Voraussetzungen der Aufgabe, und sie ist offenbar nicht stetig, denn an der Stelle x=b unterscheiden sich der Grenzwert von rechts und von links.
Gruß v. Angela
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