Stetigkeit zweier Topologien < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:45 Mo 06.05.2013 | | Autor: | Lonpos |
Ich hänge gerade an folgender Überlegung: Sei X eine Menge und [mm] \tau_1,\tau_2 [/mm] zwei Topologien auf X. Nun betrachte ich die identische Abbildung auf X, also [mm] (X,\tau_1)->(X,\tau_2). [/mm] Wie kann ich nun die Stetigkeit der identischen Abbildung auf X in Beziehung zur Vergleichbarkeit der beiden Topologien setzen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 Mo 06.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich hänge gerade an folgender Überlegung: Sei X eine
> Menge und [mm]\tau_1,\tau_2[/mm] zwei Topologien auf X. Nun
> betrachte ich die identische Abbildung auf X, also
> [mm](X,\tau_1)->(X,\tau_2).[/mm] Wie kann ich nun die Stetigkeit der
> identischen Abbildung auf X in Beziehung zur
> Vergleichbarkeit der beiden Topologien setzen?
wann ist denn eine Abbildung $f [mm] \colon [/mm] (R, [mm] \tau) \to (S,\tilde{\tau})$ [/mm] zwischen zwei
topologischen Räumen $(R, [mm] \tau)$ [/mm] und [mm] $(S,\tilde{\tau})$ [/mm] rein per Definitionem
stetig?
Wenn für alle [mm] $\tilde{O} \in \tilde{\tau}$ [/mm] gilt, dass [mm] $f^{-1}(\tilde{O}) \in [/mm] ...$? (Man notiert das
auch als [mm] $f^{-1}(\tilde{\tau}) \red{\;\subseteq\;}\tau$ [/mm] !)
(Erinnerst Du Dich: "Stetig genau dann, wenn Urbilder offener Mengen offen
sind". Die Elemente einer Topologie sind die offenen Mengen!)
Nun sei [mm] $\text{id}_X$ [/mm] definiert durch [mm] $\text{id}_X(x):=x\,$ [/mm] für alle $x [mm] \in X\,.$
[/mm]
Dann gilt sicher für (jedes) [mm] $\tilde{O} \in \tau_2$ [/mm] auch [mm] ${(\text{id}_X)}^{-1}(\tilde{O})=\tilde{O}\,,$ [/mm] weil...?
Durch die Bedingung [mm] $\tilde{O} \in [/mm] ...$ folgt daher...?
Fazit: Die obige Identität ist stetig dann und nur dann, wenn
[mm] $\tau_2 \text{ \red{\;?\;} }\tau_1$ [/mm] gilt (was ist für [mm] $\red{\;\text{?}\;}$ [/mm] einzusetzen?) - in Worten
Wenn [mm] $\tau_2$ grö$\textbf{\blue{b}}$er [/mm] ist als [mm] $\tau_1\,.$ [/mm] (Anders gesagt: Wenn [mm] $\tau_1$ [/mm] feiner ist als [mm] $\tau_2\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Mo 06.05.2013 | | Autor: | Lonpos |
Danke für deine Hilfe, den einzigen Satz den ich nicht verstehe "Durch die Bedingung $ [mm] \tilde{O} \in [/mm] ... $ folgt daher...? ", vlt könntest du mir diesen vervollständigen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:39 Mo 06.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für deine Hilfe, den einzigen Satz den ich nicht
> verstehe "Durch die Bedingung [mm]\tilde{O} \in ...[/mm] folgt
> daher...? ", vlt könntest du mir diesen
> vervollständigen.
das ist eigentlich genau das, was Du machen solltest. Du willst doch gerade
die Stetigkeit haben: Was muss also für jedes [mm] $\tilde{O} \in \tau_2$ [/mm] dann gelten?
(Im Prinzip fragst Du mich gerade, was Du in dem Lückentext denn in die
Lücken einsetzen musst, um eine Musterlösung zu haben. Du sollst selbst
nachdenken und überlegen, was da einzusetzen ist!)
Gruß,
Marcel
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