Stichprobenstandardabweichung < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:42 Di 22.07.2014 | | Autor: | Pettel |
| Aufgabe | | Für das Merkmal Y liegen n=100 Beobachtungen einer Stichprobe vor, wobei [mm] \summe_{i=1}^{n} y_{i}=9.8 [/mm] und [mm] \summe_{i=1}^{n} y_{i}^2=94.3 [/mm] gilt. Bestimmen Sie die Stichprobenstandardabweichung von Y. |
Hallo,
der Verschiebungssatz ist in der mir vorliegenden Formelsammlung schlicht gegeben als
[mm] V(X)=E(X^{2})-E(X)^{2}
[/mm]
Über diese Formel:
[mm] \summe_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}=(\summe_{i=1}^{n} x_{i}^{2})-\bruch{1}{n}*(\summe_{i=1}^{n} x_{i})^{2}
[/mm]
komme ich zur Lösung, mir ist aber über die erste Formel nicht klar warum ich den quadrierten Erwartungswert noch einmal durch n dividieren muss. Wäre super, wenn mir da einer einen Anstoß geben könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:27 Di 22.07.2014 | | Autor: | luis52 |
Moin Petel
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Über diese Formel:
> [mm]\summe_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}=(\summe_{i=1}^{n} x_{i}^{2})-\bruch{1}{n}*(\summe_{i=1}^{n} x_{i})^{2}[/mm]
>
>
Die Varianz schaetzt du mit
[mm]\frac{1}{n}\summe_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}=(\frac{1}{n}\summe_{i=1}^{n} x_{i}^{2})-(\bruch{1}{n^2}\summe_{i=1}^{n}
x_{i})^{2}=\overline{x^2}-\bar x^2[/mm]
Dieser Ausdruck entspricht der Formel fuer die (theoretische) Varianz, die du in deinen Unterlagen gefunden hast.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Di 22.07.2014 | | Autor: | Pettel |
Hallo Luis,
vielen Dank für die schnelle Antwort!
Das ganze Thema ist für mich leider sehr undurchsichtig und ich muss gestehen, dass ich mit dieser neuen Formel nicht weiß wie ich damit meine Frage beantworten kann :/
Meine zweite Formel wurde mit [mm] \bruch{1}{n} [/mm] multipliziert, den Wert rechts des Gleichheitszeichens kann ich gar nicht zuordnen.
In meiner jetzigen Verwirrung ist
[mm] E(X^{2})=(\summe_{i=1}^{n} x_{i}^{2})
[/mm]
und
[mm] E(X)^{2}=(\summe_{i=1}^{n} x_{i})^{2})
[/mm]
Das kann ja aber offensichtlich nicht stimmen, weil aus dem bloßen Vergleich meiner ersten Gleichungen folgte
[mm] E(X)^{2}=\bruch{1}{n}(\summe_{i=1}^{n} x_{i})^{2})
[/mm]
Also: Nochmal 2 Schritte zurück für mich, ein bloßer Anstoß reicht wohl nicht aus. Warum wird der quadrierte Erwartungswert durch n geteilt, der Erwartungswert von [mm] X^{2} [/mm] aber nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:04 Di 22.07.2014 | | Autor: | luis52 |
Vergiss die Formel $ [mm] V(X)=E(X^{2})-E(X)^{2}$, [/mm] sie hat erst einmal nichts mit der Aufgabe zu tun. Diese lautet:
Bestimmen Sie die Stichprobenstandardabweichung von Y.
Die Stichprobenvarianz ist [mm] $s^2= \frac{1}{n}\summe_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}$. [/mm] Fuer sie kann man schreiben
[mm] $s^2=(\frac{1}{n}\summe_{i=1}^{n} x_{i}^{2})-(\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n} x_{i})^{2}=\overline{x^2}-\bar x^2 [/mm] $.
Berechne also diesen Wert und daraus die Stichprobenstandardabweichung
[mm] $s=\sqrt{s^2}$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Di 22.07.2014 | | Autor: | Pettel |
[mm] (94,3/100-(9,8/10000)^{2})^{0,5}=0,97108..
[/mm]
Ist das richtig? :)
Das Problem ist aber: Die einzige (korrigierte?) Stichprobenvarianz, die in meiner FS steht ist
[mm] S^{2}=\bruch{1}{n-1}\summe_{i=1}^{n}X_{i}-\overline{X})^{2}
[/mm]
Meine Ausgangsfrage fußte nämlich auf der Umformung der ersten Gleichung unter diesem Link:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Korrigierte_Stichprobenvarianz#Berechnung_ohne_vorherige_Mittelwertbildung
Und damit kam ich auch auf den gesuchten Wert von [mm] \sim0,9709914
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:42 Di 22.07.2014 | | Autor: | luis52 |
> [mm](94,3/100-(9,8/10000)^{2})^{0,5}=0,97108..[/mm]
> Ist das richtig? :)
*Ich* rechne so: [mm] $(94,3/100-(9,8/100)^{2})^{0,5}=0.9661242$.
[/mm]
> Das Problem ist aber: Die einzige (korrigierte?)
> Stichprobenvarianz, die in meiner FS steht ist
>
> [mm]S^{2}=\bruch{1}{n-1}\summe_{i=1}^{n}X_{i}-\overline{X})^{2}[/mm]
Multipliziere den oben berechneten Wert mit [mm] $\sqrt{100/99}$. [/mm] Dann erhaeltst du
[mm] $\sqrt{\bruch{1}{n-1}\summe_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}} [/mm] $.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Di 22.07.2014 | | Autor: | Pettel |
$ [mm] s^2=(\frac{1}{n}\summe_{i=1}^{n} x_{i}^{2})-(\bruch{1}{n^2}\summe_{i=1}^{n} x_{i})^{2}=\overline{x^2}-\bar x^2 [/mm] $
$ [mm] (94,3/100-(9,8/100)^{2})^{0,5}=0.9661242 [/mm] $
Beides sind Zitate. In der oberen Formel wird das n im Nenner einmal quadriert. In der unteren steht in beiden Nennern plötzlich die 100, warum?
Vielleicht bin ich auch einfach zu doof, aber ich verstehe gar nichts :o)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:12 Mi 23.07.2014 | | Autor: | luis52 |
> [mm]s^2=(\frac{1}{n}\summe_{i=1}^{n} x_{i}^{2})-(\bruch{1}{n^2}\summe_{i=1}^{n} x_{i})^{2}=\overline{x^2}-\bar x^2[/mm]
>
> [mm](94,3/100-(9,8/100)^{2})^{0,5}=0.9661242[/mm]
> Beides sind Zitate. In der oberen Formel wird das n im
> Nenner einmal quadriert. In der unteren steht in beiden
> Nennern plötzlich die 100, warum?
Da ist mir in einer frueheren Zuschrift ein Fehler unterlaufen, den ich nun korrigiert habe.
> Vielleicht bin ich auch einfach zu doof,
Vielleicht bin ich zu doof. 
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