Stimmt diese Folgerung? < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:31 Mi 16.01.2013 | | Autor: | hula |
Hallo zusammen
Wenn eine Funktionenschar [mm] $(F(\alpha,t))_{0\le t\le T}$ [/mm] habe und einen metrischen Raum $X$ mit [mm] $F(\alpha,t):X\to\mathbb{R}$ [/mm] und folgendes zeigen konnte:
[mm] $$\lim_{\alpha\to \infty}\int_X \sup_{0\le t\le T}|F(\alpha,T)|d\mu \le [/mm] 0$$
gilt dann auch [mm] $\lim_{\alpha\to\infty}\sup_{0\le t \le T} |F(\alpha,t)| [/mm] =0 $?
Einfach gesagt, wenn ich Funktionen [mm] $(f_\alpha)$ [/mm] habe, die nicht negativ sind, und ich zeigen konnte, dass
[mm] $$\lim_{\alpha\to\infty}\int_X f_\alpha d\mu\le0$$
[/mm]
gilt dann [mm] $\lim_{\alpha\to\infty} f_\alpha [/mm] = 0$
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:07 Do 17.01.2013 | | Autor: | hippias |
Einiges an Deinem Text ist mir unklar, aber hier ein Beispiel: [mm] $f_{\alpha}:[0,1]\to \IR$, $x\mapsto x^{\alpha}$. [/mm] Dann ist [mm] $\lim_{\alpha\to \infty}\int_{0}^{1} f_{\alpha}= [/mm] 0$, aber [mm] $\lim f_{\alpha}$ [/mm] eben nicht ganz $=0$. Entscheidend ist hier wohl, wie die Funktionen konvergieren, und ob sie ueberhaupt konvergieren.
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Hiho,
neben Hippias beispiel, dass ja "nur" auf eine Lebesgue-Nullmenge nicht null ist, gibt es auch Funktionen für die das Integral gegen Null geht, die Folge aber nichtmal konvergieren muss.
Ein einfaches bekanntes Beispiel wären hier die wandernden Türme bzw. jede Folge von Funktionen, die zwar dem Maß nach, nicht jedoch [mm] \mu [/mm] f.ü. konvergiert.
MFG,
Gono.
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