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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Mi 27.03.2013 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Wie komme ich auf:
[mm] \vektor{2n\\ n} 2^{-2n} [/mm] = [mm] \frac{1+o(1)}{\sqrt{\pi n}}
[/mm]
Dabei wird verwendet n! = [mm] (\frac{n}{e})^n [/mm] * [mm] \sqrt{2\pi n} [/mm] *(1+o(1)) |
[mm] \vektor{2n\\ n} 2^{-2n} =\frac{(2n)!}{n!*n!} [/mm] * [mm] 2^{-2n} [/mm] = [mm] \frac{(n+1)*..*(2n-1)*(2n)}{n!} [/mm] * [mm] 2^{-2n} [/mm] = [mm] \frac{e^n *(n+1)*..*(2n-1)*(2n)}{n^n \sqrt{\pi n} *(1+ o(1))} [/mm] * [mm] 2^{-2n-1/2}
[/mm]
??
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Hallo Lu-,
> Wie komme ich auf:
> [mm]\vektor{2n\\ n} 2^{-2n}[/mm] = [mm]\frac{1+o(1)}{\sqrt{\pi n}}[/mm]
>
> Dabei wird verwendet n! = [mm](\frac{n}{e})^n[/mm] * [mm]\sqrt{2\pi n}[/mm]
> *(1+o(1))
> [mm]\vektor{2n\\ n} 2^{-2n} =\frac{(2n)!}{n!*n!}[/mm] * [mm]2^{-2n}[/mm] =
> [mm]\frac{(n+1)*..*(2n-1)*(2n)}{n!}[/mm] * [mm]2^{-2n}[/mm] = [mm]\frac{e^n *(n+1)*..*(2n-1)*(2n)}{n^n \sqrt{\pi n} *(1+ o(1))}[/mm]
> * [mm]2^{-2n-1/2}[/mm]
>
> ??
Setze nach dem zweiten Gleichheitszeichen die Näherung ein.
Und zwar für alle auftretenden Fakultäten.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Mi 27.03.2013 | | Autor: | Lu- |
Hallo
> $ [mm] \frac{(n+1)\cdot{}..\cdot{}(2n-1)\cdot{}(2n)}{n!} [/mm] $ * $ [mm] 2^{-2n} [/mm] $ =$ [mm] \frac{e^n \cdot{}(n+1)\cdot{}..\cdot{}(2n-1)\cdot{}(2n)}{n^n \sqrt{\pi n} \cdot{}(1+ o(1))} [/mm] $* $ [mm] 2^{-2n-1/2} [/mm] $
Das habe ich ja im dritten SChritt gemacht. Für n! die Näherung eingesetzt. Ich verstehe grad nicht was du anders meinst - als ich es gemacht habe.
Ist ja nur diese fakultät da..
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Hallo Lu-,
denk nochmal drüber nach. MathePowers Tipps kannst Du vertrauen.
> > [mm]\frac{(n+1)\cdot{}..\cdot{}(2n-1)\cdot{}(2n)}{n!}[/mm] *
> [mm]2%5E%7B-2n%7D[/mm] =[mm]%20%5Cfrac%7Be%5En%20%5Ccdot%7B%7D(n%2B1)%5Ccdot%7B%7D..%5Ccdot%7B%7D(2n-1)%5Ccdot%7B%7D(2n)%7D%7Bn%5En%20%5Csqrt%7B%5Cpi%20n%7D%20%5Ccdot%7B%7D(1%2B%20o(1))%7D%20[/mm]*
> [mm]2^{-2n-1/2}[/mm]
> Das habe ich ja im dritten SChritt gemacht. Für n! die
> Näherung eingesetzt. Ich verstehe grad nicht was du anders
> meinst - als ich es gemacht habe.
> Ist ja nur diese fakultät da.
Das ist doch ein starkes Indiz für ein Missverständnis. Versuchs mal einen Schritt davor, also vor dem Kürzen von n!.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Fr 29.03.2013 | | Autor: | Lu- |
Ah ok.
[mm] \frac{(2n)!}{n!*n!} 2^{-2n} [/mm] = [mm] \frac{(\frac{2n}{e})^{2n} \sqrt{4 \pi n } (1+o(1))}{[(\frac{n}{e})^{n} \sqrt{2 \pi n } (1+o(1))]^2} *2^{-2n} [/mm] = [mm] \frac{2^{2n}(\frac{n}{e})^{n} *(\frac{n}{e})^{n} ~ \sqrt{2} \sqrt{2 \pi n } (1+o(1))}{[(\frac{n}{e})^{n} \sqrt{2 \pi n } (1+o(1))]^2} [/mm] * [mm] 2^{-2n} [/mm] = [mm] \frac{2^{2n}* (\frac{n}{e})^n * \sqrt{2} }{(\frac{n}{e})^{n} \sqrt{2 \pi n } (1+o(1))} 2^{-2n} [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{\pi n} * (1+o(1))}
[/mm]
Wo liegt mein Fehler? Finde ihn leider nicht.
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> Ah ok.
>
> [mm]\frac{(2n)!}{n!*n!} 2^{-2n}[/mm] = [mm]\frac{(\frac{2n}{e})^{2n} \sqrt{4 \pi n } (1+o(1))}{[(\frac{n}{e})^{n} \sqrt{2 \pi n } (1+o(1))]^2} *2^{-2n}[/mm]
> = [mm]\frac{2^{2n}(\frac{n}{e})^{n} *(\frac{n}{e})^{n} ~ \sqrt{2} \sqrt{2 \pi n } (1+o(1))}{[(\frac{n}{e})^{n} \sqrt{2 \pi n } (1+o(1))]^2}[/mm]
> * [mm]2^{-2n}[/mm] = [mm]\frac{2^{2n}* (\frac{n}{e})^n * \sqrt{2} }{(\frac{n}{e})^{n} \sqrt{2 \pi n } (1+o(1))} 2^{-2n}[/mm]
> = [mm]\frac{1}{\sqrt{\pi n} * (1+o(1))}[/mm]
>
> Wo liegt mein Fehler? Finde ihn leider nicht.
Weshalb denkst du denn, dass da jetzt noch ein Fehler sei ?
Es gilt nämlich [mm] $\frac{1}{1+o(1)}\ [/mm] =\ 1+o(1)$
(dabei stehen natürlich die beiden o(1) nicht für
den exakt gleichen Term ...)
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Fr 29.03.2013 | | Autor: | Lu- |
> Es gilt nämlich $ [mm] \frac{1}{1+o(1)}\ [/mm] =\ 1+o(1) $
Wie kommst du darauf?
LG
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> > Es gilt nämlich [mm]\frac{1}{1+o(1)}\ =\ 1+o(1)[/mm]
> Wie
> kommst du darauf?
Sei der erste Ausdruck o(1) ein Term a
Dann ist [mm] $\frac{1}{1+a}\ [/mm] =\ [mm] 1-a+a^2-a^3\pm\,.....\ [/mm] =\ [mm] 1-o(1)+(o(1))^2-(o(1))^3\pm\,.....$
[/mm]
und nach der Landau-Notation ist dieses Ergebnis
ebenfalls von der Ordnung 1+o(1)
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:06 Fr 29.03.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Al,
es ginge noch einfacher (aber im wesentlichen genauso).
> > > Es gilt nämlich [mm]\frac{1}{1+o(1)}\ =\ 1+o(1)[/mm]
> > Wie
> > kommst du darauf?
Gewöhnliche "Äquivalenzumformung" (die es hier ja eigentlich nicht ist) genügt auch:
[mm] \Rightarrow 1=(1+o(1))1^2=1+2o(1)+(o(1))^2
[/mm]
> Sei der erste Ausdruck o(1) ein Term a
>
> Dann ist [mm]\frac{1}{1+a}\ =\ 1-a+a^2-a^3\pm\,.....\ =\ 1-o(1)+(o(1))^2-(o(1))^3\pm\,.....[/mm]
>
> und nach der Landau-Notation ist dieses Ergebnis
> ebenfalls von der Ordnung 1+o(1)
...und das gilt auch für das andere.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:41 Sa 30.03.2013 | | Autor: | Lu- |
Vielen Dank für die Erklärung !
Lg, Lu
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