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Die allerallerallerletzte Aufgabe, die ich net verstehe, ok???
Beispiel I: [Siebformel] Spieler A und B haben jeder ein (identisches) Kartenspiel mit n Blatt verdeckt vor sich liegen, jeweils gut gemischt. Nacheinander werden von beiden Spielern gleichzeitig die n Karten umgedreht. Es gewinnt am Ende des Spiels
Spieler A von B x1 Euro, falls insgesamt nie die gleiche Karte aufgedeckt wurde
Spieler B von A x2 Euro, falls mindestens einmal die gleiche Karte aufgedeckt wird.
Nun zur schweren Aufgabe:
1. Zum Kartenspiel aus Beispiel I: Bei welchem Gewinnen liegt ein faires
Spiel vor im Fall n=2 und n=3
und:
2. Geänderte Spielregeln bei dem Kartenspiel aus Beispiel I: Spieler B gewinnt, falls genau einmal gleiche Karten aufgedeckt werden. Welcher der beiden Spieler ist jetzt bei gleichem Einsatz im Vorteil
a) bei n=1,2,3
b) bei einem normalen Kartenspiel mit mindestens 32 Blatt???
Ich hab keine Ahnung. Leider..
LG euer Björn
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Lieber Björn!
> Beispiel I: [Siebformel] Spieler A und B haben jeder ein
> (identisches) Kartenspiel mit n Blatt verdeckt vor sich
> liegen, jeweils gut gemischt. Nacheinander werden von
> beiden Spielern gleichzeitig die n Karten umgedreht. Es
> gewinnt am Ende des Spiels
> Spieler A von B x1 Euro, falls insgesamt nie
> die gleiche Karte aufgedeckt wurde
> Spieler B von A x2 Euro, falls mindestens
> einmal die gleiche Karte aufgedeckt wird.
>
> Nun zur schweren Aufgabe:
>
> 1. Zum Kartenspiel aus Beispiel I: Bei welchem Gewinnen
> liegt ein faires
> Spiel vor im Fall n=2 und n=3
Nennen wir mal $G$ den Gewinn von Spieler $A$. G beträgt [mm] $x_1$, [/mm] falls
$A$ gewinnt, d.h. falls [mm] $X_n=0$, [/mm] also falls bei einer zufälligen Permutation der Menge [mm] $\{1,2,\ldots,n\}$ [/mm] kein Fixpunkt auftaucht. Stell Dir einfach vor, dass Du die Karten von $A$ kennst, und Spieler $B$ nur eine zufällige Permutation dieser Karten besitzt. Dann sollte dieser Zusammenhang klar sein. Aber [mm] $P(X_n=0)$ [/mm] haben wir ja formelmäßig schon in den anderen Aufgaben kennengelernt, nämlich
[mm]P(X_n=0)=\sum\limits_{r=0}^n\frac{(-1)^r}{r!}[/mm]
Kannst Du ja mal für $n=2$ ausrechnen. Falls [mm] $X_n\neq [/mm] 0$, gewinnt $B$, d.h. der Gewinn von $A$ beträgt dann [mm] $-x_2$. [/mm] Der Erwartungswert von $G$ ist damit
[mm]E(G)=x_1\cdot P(X_n=0) -x_2 \cdot(1-P(X_n=0))[/mm]
Damit ein faires Spiel vorliegt, muss $E(G)=0$ gelten. Daraus kannst Du dann eine Beziehung zwischen [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] herleiten (Du wirst keine konkreten Werte herausbekommen, nur eine Gleichung, die [mm] $x_1$ [/mm] in Abhängigkeit von [mm] $x_2$ [/mm] angibt oder andersherum).
Für $n=3$ machst Du das genauso und bekommst eine andere Relation zwischen [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] heraus.
> 2. Geänderte Spielregeln bei dem Kartenspiel aus Beispiel
> I: Spieler B gewinnt, falls genau einmal gleiche Karten
> aufgedeckt werden. Welcher der beiden Spieler ist jetzt bei
> gleichem Einsatz im Vorteil
> a) bei n=1,2,3
> b) bei einem normalen Kartenspiel mit mindestens 32
> Blatt???
Sind keine konkreten Werte für [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] angegeben? Dann musst Du in Abhängigkeit dieser beiden Werte rechnen. $A$ gewinnt nun [mm] $-x_2$ [/mm] mit der Wahrscheinlichkeit [mm] $P(X_n=1)$ [/mm] (s. Stefans Formel für diese Wkt.) und gewinnt [mm] $x_1$ [/mm] mit der Gegenwahrscheinlichkeit. Also
[mm] E(G)=x_1(1-P(X_n=1)) + x_2 P(X_n=1)[/mm]
Für große $n$ kommt dann wieder der Grenzwert ins Spiel, um den es schon mal ging.
Grüße
Brigitte
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Na, wenn das mal nicht eine Kommilitonin von mir ist, wie???
Da hat sie ja Glück, dass du mir(uns) schon so geholfn hast und ich hab wenigstens den Vorteil, dass ich auch schon das alles verstanden habe (dank dir).
so, nun zu meinem Lösungsansatz bei 1.
für n=2
P(X2=0)= 1-1+1/2=1/2
es folgt, da E(G)=0 die Gleichung:
0= x1*1/2-x2*1/2
0= 1/2*(x1-x2)
also: x1=x2
für n=3
P=1/3
und x1= 2*x2
einverstanden??
beim zweiten ist in der tat kein konkreter Wert angegeben... ich mach mir da nochmal kurz Gedanken, aber vielleicht brauch ich nochmal deine Hilfe.
LG
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Lieber Björn,
> Na, wenn das mal nicht eine Kommilitonin von mir ist,
> wie???
Da gehe ich mal von aus. Wie viele seid ihr denn in dieser vorlesung?
> Da hat sie ja Glück, dass du mir(uns) schon so geholfn
> hast und ich hab wenigstens den Vorteil, dass ich auch
> schon das alles verstanden habe (dank dir).
>
> so, nun zu meinem Lösungsansatz bei 1.
>
> für n=2
>
> P(X2=0)= 1-1+1/2=1/2
>
> es folgt, da E(G)=0 die Gleichung:
>
> 0= x1*1/2-x2*1/2
> 0= 1/2*(x1-x2)
>
> also: x1=x2
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> für n=3
>
> P=1/3
>
> und x1= 2*x2
> einverstanden??
> beim zweiten ist in der tat kein konkreter Wert
> angegeben... ich mach mir da nochmal kurz Gedanken, aber
> vielleicht brauch ich nochmal deine Hilfe.
Na ja, wie gut, dass Deine Kommilitonin die Aufgabe auch gestellt hat  Da stand ja, dass der Einsatz gleich sein soll, also [mm] $x_1=x_2$. [/mm] Dann schau mal, ob $E(G)>0$ (dann würde $A$ systematisch Gewinn machen) oder $E(G)<0$.
LG
Brigitte
> LG
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hi Brigitte.
Die Aufgabe heisst doch: Geänderte Spielregeln bei dem Kartenspiel aus Beispiel I:
Spieler B gewinnt, falls genau einmal gleiche Karten aufgedeckt werden. Welcher der beiden Spieler ist jetzt bei gleichem Einsatz im Vorteil
a) bei n=1,2,3
b) bei einem normalen Katrenspiel mit mindestens 32 Katren.
zu a)
dann ist X doch 1 oder???
aber nun??
wieso ist x1=x2???
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Lieber Björn,
da steht "bei gleichem Einsatz". Das heißt für mich, dass A an B einen Betrag $x$ bezahlt, wenn B gewinnt und B an A den gleichen Betrag zahlt, falls A gewinnt. Deshalb [mm] $x_1=x_2=x$. [/mm] Dass hier $P(X=1)$ betrachtet wird, ist davon unabhängig.
Oder verstehst Du das anders?
LG
Brigitte
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ich könnt mir.. naja.
ICH VERSTEHS EINFACH NICHT:
Ich hab für n=1 P=0
für n=2 P=1/2 und für n=3 P=1/6
und jetzt geb ich auf..
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Guten Morgen!
> Ich hab für n=1 P=0
Wieso P=0? Wir hatten uns doch schon lange darauf geeinigt, dass
[mm] $P(X_1=1)=1$. [/mm] Damit folgt
[mm]E(G)=-xP(X_1=1)+xP(X_1\neq 1)=-x[/mm]
Dieses Spiel sollte A nicht spielen. Er wird immer verlieren.
> für n=2 P=1/2
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") [mm] $P(X_2=1)=0$, [/mm] denn es kann nur 0 oder 2 Fixpunkte geben, nicht 1.
Also folgt für den Erwartungswert bei $n=2$
[mm]E(G)=-xP(X_2=1)+xP(X_2\neq 1)=x[/mm]
Dieses Spiel sollte A spielen!
> und für n=3 P=1/6
[mm] $P(X_3=1)=1/2$. [/mm] Das hatten wir doch auch schon.
Damit folgt für $n=3$
[mm]E(G)=-xP(X_3=1)+xP(X_3\neq 1)=0,[/mm]
also ein faires Spiel.
Für [mm] $n\ge [/mm] 32$ kannst Du wieder über den Grenzwert für [mm] $n\to\infty$ [/mm] von [mm] $P(X_n=1)$ [/mm] argumentieren.
Liebe Grüße
Brigitte
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