Stochastische Diff.-gleichung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:45 Mi 11.08.2010 | | Autor: | DesterX |
Hallo zusammen,
ich hab die folgende stochastische Diff.-gleichungen gegeben, welche die W'maße P und Q induzieren:
(I)$ [mm] dX_t [/mm] = [mm] -\nabla g(X_t) [/mm] dt + [mm] \wurzel{2f(t)}dW_t [/mm] $,
(II) $ [mm] dX_t [/mm] = [mm] \wurzel{2f(t)}dW_t [/mm] $
dabei ist $g: [mm] \IR^n \to\IR$, \nabla{g} [/mm] entsprechend der Gradient und f eine stetige, monoton fallende Funktion. [mm] W_t [/mm] sei ein normaler Wiener-Prozess.
Nehmen wir nun an, dass g und f eine solche Bauart haben, dass die Gleichungen eindeutig lösbar sind. Zudem gilt nun, dass P absolut (bzw. schwach) stetig bzgl. Q ist.
Kann man nun konkret sagen wie die Radon-Nikodym-Ableitung:
[mm] \bruch{dP}{dQ}(X) [/mm] aussieht? Kann man evtl. hier zunächst die Dichten, zB. [mm] \bruch{dP}{dx} [/mm] angeben? Ich komme an der Stelle leider nicht weiter.
Würd mich über eure Hilfe wirklich sehr freuen,
viele Grüße, Dester
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Fr 13.08.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Fr 13.08.2010 | | Autor: | dazivo |
Hallo Dester!
Trotz abgelaufener Frist, möchte ich trotzdem versuchen zu helfen.
Zunächst einmal versteht man die Aufgabenstellung nicht.
Konkret bedeutet das: Woher kommen die W'masse $P$ und $Q$? und was für eine Lösung ist jetzt $X$, starke oder schwache? und ist $X$ lösung von beiden SDGLen, gleichzeitig? und was bedeuted [mm] $\frac{dP}{dQ}(X)$??
[/mm]
gruss dazivo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:47 Sa 14.08.2010 | | Autor: | DesterX |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hi Dazivo,
vielen Dank dass du noch darauf eingehst. Ich bin nach wie vor an einer Hilfe interessiert, hatte nur beim Posting vergessen die Frist länger einzustellen.
In dem mir vorliegenden Text steht das ganze wie folgt (leider nicht viel mehr):
Definiere $H=\{g:[t,t+1] \to \IR^n, g \ stetig \}$. Nun seien $P_y$ und $Q_y$ jeweils die beiden W'maße auf H, die induziert werden durch:
(I)$ dX_u = -\nabla g(X_u) dt + \wurzel{2f(u)}dW_u $,
(II) $ dX_u = \wurzel{2f(u)}dW_u $
wobei gilt: $u \in [t,t+1]$ und $X_t = y$ (Startwert).
g und f wie im ersten Posting.
Nun steht dort:
$ \bruch{dP}{dQ}(X)= exp(\integral_{t}^{t+1}{\bruch{1}{2f(u)}*<-\nabla{U(X(u))},dZ(u)>} - \bruch{1}{2}\integral_{t}^{t+1}\bruch{1}{2f(u)}|\nabla{U(X(u))}|^2 du})$
Gerade dies irritiert mich, insbesondere dass der Diffusionsterm in den Nenner wandert.
Scheinbar geht es hier um einen Maßwechsel (von Gleichung I zu II zur Vereinfachung, könnte das so gemeint sein?) und in irgendeiner Form wird das Girsanov-Theorem angewendet, aber wie genau dies in diesem Sachzusammenhang funktioniert, kann ich leider nicht nachvollziehen.
Im späteren Verlauf jedenfalls wird erwähnt, dass bzgl $Q_y$ $X_i(t+1)$ unabhängig normalvereilt wäre, heißt $N(y_i,\integral_{t}^{t+1} 2f(u) du)$
Kannst du mit diesen Infos evtl schon mehr anfangen und die Ideen nachvollziehen?
Würd mich sehr freuen!
Gruß, Dester
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:24 Di 17.08.2010 | | Autor: | dazivo |
Hallo DesterX!
Ehrlich gesagt verstehe ich die Aufgabenstellung immer noch nicht!
Ich habe irgendwie Mühe deine Voraussetzungen nachzuvollziehen.
Ich glaube allerdings, es lautet folgendermassen:
Sei [mm] $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}, \mathbb{F}, [/mm] W)$ ein filtrierter W'Raum mit Brownscher Bewegung $W$. Jetzt kann man das ganze auch auf dem PfadRaum [mm] $C([0,\infty))$ [/mm] mit entsprechendem Bildmass [mm] $\mu [/mm] := [mm] \mathbb{P}\circ (W)^{-1}$ [/mm] schieben, das ist aber nicht wirklich notwendig.
Vergessen wir mal deinen Raum $H$ für den Moment und nehmen wir an, dass alle Prozesse eindimensional sind. Jetzt nehme ich mir eine glatte Funktion $g: [0,1] [mm] \to \mathbb{R}$ [/mm] und eine glatte positive Funktion $g: [0,1] [mm] \to \mathbb{R_+}$ [/mm] (glatt deswegen, damit wir uns keine Gedanken über differenzierbarkeit machen müssen). Und jetzt nehmen wir an die stochastische DGL
$$
[mm] \begin{cases} dX_t = -g'(X_t)dt + \sqrt{2 f(t)}dW_t & \mbox{für } t\in [0,1] \\ X_0 = x, & \mbox{für } x \in \mathbb{R} \end{cases}
[/mm]
hat eine starke Lösung, d.h im wesentlichen (ich will jetzt nicht die ganze Definition hinschreiben), dass man einen [mm] $\mathbb{F}$-adaptierten [/mm] stetigen Prozess [mm] $(X_t)_{0 \leq t \leq 1}$, [/mm] der die integrierte Form der obigen SDGL erfüllt. Und jetzt kann man das Bildmass von $X$ bezüglich [mm] $\mathbb{P}$ [/mm] hinschreiben [mm] $\mathbb{P}_{x} [/mm] := [mm] \mathbb{P}\circ (X)^{-1}$. [/mm] Das ist glaube ich dein "induziertes" W'mass, dass du erwähnt hast.
Jetzt macht man das gleiche mit der anderen SDGL und nennt die Lösung
dort $Y$ und [mm] $\mathbb{Q}_{x}:= \mathbb{P}\circ (Y)^{-1}$.
[/mm]
Aufgepasst: [mm] $\mathbb{P}_{x}$ [/mm] und [mm] $\mathbb{Q}_{x}$ [/mm] sind jetzt W'masse auf den PfadRaum $C([0,1])$.
Jetzt glaube ich willst du die Radon-Nikodym Ableitung [mm] $\frac{d\mathbb{P}_{x}}{d\mathbb{Q}_{x}}$ [/mm] ausrechnen. Dafür muss du testen ob überhaupt [mm] $\mathbb{P}_{x} [/mm] << [mm] \mathbb{Q}_{x}$ [/mm]
(aber das sollte glaube ich kein Problem darstellen).
Weiter ist die Radon-Nikodym Ableitung ist dann nichts anderes als der Density Process von [mm] $\mathbb{P}_{x}$ [/mm] bezüglich [mm] $\mathbb{Q}_{x}$ [/mm] ausgewertet in $t=1$. Und hier empfehle ich dir das Girsanov Theorem für die Brownsche Bewegung nochmal genau anzuschauen.
Ist es bis hierhin einigermassen dasselbe, was in deiner Aufgabe gefordert wird?
Gruss dazivo
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(Frage) überfällig | | Datum: | 09:39 Fr 20.08.2010 | | Autor: | DesterX |
Hi,
vielen vielen Dank für deine Mühen. Etwas klarer ist es mir nun schon. Eine Frage noch: Wie würdest du denn $ [mm] \mathbb{P}_{x} [/mm] << [mm] \mathbb{Q}_{x} [/mm] $ zeigen?
MfG, Dester
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 So 22.08.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:33 Sa 14.08.2010 | | Autor: | DesterX |
Ich bin nach wie vor an Antworten interessierten (weitere Infos in meiner Mitteilung. Ich hoffe die Admins sehen mir nach, dass ich Frage deswegen nochmals eröffne - hatte im ersten Posting vergessen, die Laufzeit zu verlängern.
Viele Grüße und vielen Dank im Voraus.
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