www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "stochastische Analysis" - Stochastische Konvergenz
Stochastische Konvergenz < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "stochastische Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Stochastische Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:43 Mo 30.11.2009
Autor: steppenhahn

Aufgabe
Sei [mm] (Z_{n})_{n\in\IN} [/mm] eine Folge von Zufallsvariablen, die stochastisch gegen eine Konstante c konvergiert. Zeige, dass dann für jede stetige Funktion [mm] g:\IR\to\IR [/mm] die Folge [mm] (g(Z_{n}))_{n\in\IN} [/mm] stochastisch gegen g(c) konvergiert!

Hallo!

Ich möchte euch bitten, einen kritischen Blick auf meine Lösung zu werfen:

Mir ist gegeben, dass [mm] (Z_{n})_{n\in\IN} [/mm] stochastischen gegen c konvergiert, d.h. für alle [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gilt:

[mm] $\IP(|X_{n}-c|\ge \epsilon) [/mm] = [mm] \IP(\{\omega\in\Omega:|X_{n}(\omega) - c|\ge \varepsilon\}) \to [/mm] 0$

Nun habe ich noch, dass g stetig ist, d.h. [mm] $\forall x_{0}\in\IR$ [/mm] :

[mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0: [mm] \forall x\in\IR \mbox{ mit } |x_{0}-x|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm]

-------

Ich muss ja zeigen, dass

[mm] $\IP(|g(X_{n})-g(c)|\ge \epsilon) [/mm] = [mm] \IP(\{\omega\in\Omega:|g(X_{n}(\omega) )- g(c)|\ge \varepsilon\}) \to [/mm] 0$

gilt, also dachte ich mir, ich assoziiere [mm] $X_{n}(\omega) [/mm] = [mm] x\in\IR$ [/mm] und [mm] $x_{0} [/mm] = c$, damit ich die Stetigkeit von oben benutzen kann (also dass man sieht, dass es gilt). Dann ist nämlich

[mm] \IP(\{\omega\in\Omega:|g(X_{n}(\omega) )- g(c)|\ge \varepsilon\}) [/mm] = [mm] \IP(\{x\in\IR:|g(x)- g(x_{0})|\ge \varepsilon\}) [/mm]

(bzw. für die x, die von [mm] X_{n}(\omega) [/mm] erzeugt werden, aber ich will es ja nachher eh' wieder rücksubstituieren).

Nun dachte ich, daraus folgern zu können: Da die Gleichung in der Stetigkeit ja nicht gilt, muss die Menge [mm] \{x\in\IR:|g(x)- g(x_{0})|\ge \varepsilon\} [/mm] gerade der Menge [mm] \{x\in\IR:|x- x_{0}|\ge \delta\} [/mm]

entsprechen, also ist:

[mm] \IP(\{\omega\in\Omega:|g(X_{n}(\omega) )- g(c)|\ge \varepsilon\}) [/mm] = [mm] \IP(\{\omega\in\Omega:|X_{n}(\omega) - c|\ge \delta\}) \to [/mm] 0.

Dieses [mm] \delta, [/mm] das hängt doch aber von [mm] \varepsilon [/mm] und c ab, oder? Ist das schlimm? Eigentlich nicht, weil beide konstant sind, oder?

Vielen Dank für Eure Hilfe,
Stefan.

        
Bezug
Stochastische Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:25 Mi 02.12.2009
Autor: felixf

Moin Stefan!

> Sei [mm](Z_{n})_{n\in\IN}[/mm] eine Folge von Zufallsvariablen, die
> stochastisch gegen eine Konstante c konvergiert. Zeige,
> dass dann für jede stetige Funktion [mm]g:\IR\to\IR[/mm] die Folge
> [mm](g(Z_{n}))_{n\in\IN}[/mm] stochastisch gegen g(c) konvergiert!
>  
> Ich möchte euch bitten, einen kritischen Blick auf meine
> Lösung zu werfen:
>  
> Mir ist gegeben, dass [mm](Z_{n})_{n\in\IN}[/mm] stochastischen
> gegen c konvergiert, d.h. für alle [mm]\varepsilon[/mm] > 0 gilt:
>  
> [mm]\IP(|X_{n}-c|\ge \epsilon) = \IP(\{\omega\in\Omega:|X_{n}(\omega) - c|\ge \varepsilon\}) \to 0[/mm]

Anders gesagt: fuer jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gilt [mm] $\lim_{n\to\infty} \IP(|X_n [/mm] - c| < [mm] \varepsilon) [/mm] = 1$.

> Nun habe ich noch, dass g stetig ist, d.h. [mm]\forall x_{0}\in\IR[/mm]
> :
>  
> [mm]\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0: \forall x\in\IR \mbox{ mit } |x_{0}-x|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})| < \epsilon[/mm]

Genau. Insbesondere ist (fuer festes $n$) also [mm] $\{ \omega : |g(X_n(\omega)) - g(c)| < \varepsilon \}$ [/mm] eine Obermenge von [mm] $\{ \omega : |X_n(\omega) - c| < \delta \}$. [/mm] Insbesondere gilt also [mm] $\IP(|X_n [/mm] - c| < [mm] \delta) \le \IP(|g(X_n) [/mm] - g(c)| < [mm] \varepsilon)$. [/mm]

Was sagt dies ueber [mm] $\lim_{n\to\infty} \IP(|g(X_n) [/mm] - g(c)| < [mm] \varepsilon)$ [/mm] aus?

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Stochastische Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:12 Mi 02.12.2009
Autor: steppenhahn

Hallo felix,

danke für deine Antwort!
Ja, das mit der Obermenge leuchtet mir jetzt ein.

> Moin Stefan!
>  
> > Sei [mm](Z_{n})_{n\in\IN}[/mm] eine Folge von Zufallsvariablen, die
> > stochastisch gegen eine Konstante c konvergiert. Zeige,
> > dass dann für jede stetige Funktion [mm]g:\IR\to\IR[/mm] die Folge
> > [mm](g(Z_{n}))_{n\in\IN}[/mm] stochastisch gegen g(c) konvergiert!
>  >  
> > Ich möchte euch bitten, einen kritischen Blick auf meine
> > Lösung zu werfen:
>  >  
> > Mir ist gegeben, dass [mm](Z_{n})_{n\in\IN}[/mm] stochastischen
> > gegen c konvergiert, d.h. für alle [mm]\varepsilon[/mm] > 0 gilt:
>  >  
> > [mm]\IP(|X_{n}-c|\ge \epsilon) = \IP(\{\omega\in\Omega:|X_{n}(\omega) - c|\ge \varepsilon\}) \to 0[/mm]
>  
> Anders gesagt: fuer jedes [mm]\varepsilon > 0[/mm] gilt
> [mm]\lim_{n\to\infty} \IP(|X_n - c| < \varepsilon) = 1[/mm].
>  
> > Nun habe ich noch, dass g stetig ist, d.h. [mm]\forall x_{0}\in\IR[/mm]
> > :
>  >  
> > [mm]\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0: \forall x\in\IR \mbox{ mit } |x_{0}-x|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})| < \epsilon[/mm]
>  
> Genau. Insbesondere ist (fuer festes [mm]n[/mm]) also [mm]\{ \omega : |g(X_n(\omega)) - g(c)| < \varepsilon \}[/mm]
> eine Obermenge von [mm]\{ \omega : |X_n(\omega) - c| < \delta \}[/mm].
> Insbesondere gilt also [mm]\IP(|X_n - c| < \delta) \le \IP(|g(X_n) - g(c)| < \varepsilon)[/mm].
>  
> Was sagt dies ueber [mm]\lim_{n\to\infty} \IP(|g(X_n) - g(c)| < \varepsilon)[/mm]
> aus?

Ich bin mir noch nicht ganz sicher, aber wo ich ja hin will, ist dass [mm] \IP(|X_n [/mm] - c| < [mm] \delta) \to [/mm] 1 konvergiert für [mm] n\to\infty. [/mm] Weil dann folgt daraus natürlich wegen der Ungleichung [mm] $\IP(|X_n [/mm] - c| < [mm] \delta) \le \IP(|g(X_n) [/mm] - g(c)| < [mm] \varepsilon)$ [/mm] dass auch $ [mm] \IP(|g(X_n) [/mm] - g(c)| < [mm] \varepsilon) \to [/mm] 1$ für [mm] n\to\infty. [/mm]

Mir ist aber noch nicht ganz klar, wieso [mm] $\IP(|X_n [/mm] - c| < [mm] \delta) \to [/mm] 1$ ist. Ich weiß ja nur dass [mm] $\IP(|X_n [/mm] - c| < [mm] \varepsilon) \to [/mm] 1$ ist.

Das scheint jetzt aber kein wahrscheinlichkeitstheoretisches, sondern ein analytisches Problem zu sein.

Kannst du mir nochmal helfen?

Grüße,
Stefan

Bezug
                        
Bezug
Stochastische Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:17 Mi 02.12.2009
Autor: felixf

Hallo Stefan!

>  Ja, das mit der Obermenge leuchtet mir jetzt ein.

Gut :)

> Ich bin mir noch nicht ganz sicher, aber wo ich ja hin
> will, ist dass [mm]\IP(|X_n[/mm] - c| < [mm]\delta) \to[/mm] 1 konvergiert
> für [mm]n\to\infty.[/mm] Weil dann folgt daraus natürlich wegen
> der Ungleichung [mm]\IP(|X_n - c| < \delta) \le \IP(|g(X_n) - g(c)| < \varepsilon)[/mm]
> dass auch [mm]\IP(|g(X_n) - g(c)| < \varepsilon) \to 1[/mm] für
> [mm]n\to\infty.[/mm]

Genau.

> Mir ist aber noch nicht ganz klar, wieso [mm]\IP(|X_n - c| < \delta) \to 1[/mm]
> ist. Ich weiß ja nur dass [mm]\IP(|X_n - c| < \varepsilon) \to 1[/mm]
> ist.

Na, ob du das jetzt [mm] $\delta$ [/mm] oder [mm] $\varepsilon$ [/mm] nennst ist doch egal. Wenn [mm] $X_n$ [/mm] stochastisch gegen $c$ konvergiert, dann gilt fuer jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$, dass [mm]\IP(|X_n - c| < \varepsilon) \to 1[/mm]. Und ebenso gilt fuer jedes [mm] $\delta [/mm] > 0$, dass [mm]\IP(|X_n - c| < \delta) \to 1[/mm]. Du kannst es auch [mm] $\zeta$ [/mm] oder [mm] $\aleph$ [/mm] oder $x$ nennen, es gilt immer noch ;)

LG Felix


Bezug
                                
Bezug
Stochastische Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:37 Mi 02.12.2009
Autor: steppenhahn

Hallo Felix,

danke für deine Antwort, habe es mir nochmal durch den Kopf gehen lassen. Was mich nur irritiert hatte war, dass [mm] \delta [/mm] ja von [mm] \varepsilon [/mm] abhängt. Das ist aber egal, da die Stochastische Konvergenzaussage ja für alle [mm] \varepsilon' [/mm] > 0 galt.

Grüße,
Stefan

Bezug
        
Bezug
Stochastische Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:37 Mi 02.12.2009
Autor: iks

Hallo Stefan!

> Nun dachte ich, daraus folgern zu können: Da die Gleichung
> in der Stetigkeit ja nicht gilt, muss die Menge
> [mm]M_1:=\{x\in\IR:|g(x)- g(x_{0})|\ge \varepsilon\}[/mm] gerade der
> Menge [mm]M_2:=\{x\in\IR:|x- x_{0}|\ge \delta\}[/mm]
>  

Bist du sicher das die Gleichheit [mm] $M_1=M_2$ [/mm] der obigen Mengen wirklich gilt? Die Stetigkeit schließt doch nicht aus, das ausserhalb der Deltakugel noch Elemente $x'$ existieren, so dass [mm] $|f(x')-f(x_o)|<\epsilon$ [/mm] gilt. [mm] $M_1\subset M_2$ [/mm] sollte aber stimmen.

> entsprechen, also ist:
>  
> [mm] $\IP(\{\omega\in\Omega:|g(X_{n}(\omega) )- g(c)|\ge \varepsilon\})= \IP(\{\omega\in\Omega:|X_{n}(\omega) - c|\ge \delta\}) \to0$ [/mm]
>  
>

Obiges änderte sich dann zu:

[mm] $\IP(\{\omega\in\Omega:|g(X_{n}(\omega) )- g(c)|\ge \varepsilon\})\leq\IP(\{\omega\in\Omega:|X_{n}(\omega) - c|\ge \delta\}) \to0$ [/mm]

Die Richtigkeit des Rest's kann ich (noch) nicht überblicken.

mFg iks

Bezug
                
Bezug
Stochastische Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:13 Mi 02.12.2009
Autor: steppenhahn

Danke iks,

du hast recht, da hab ich mich wohl vertan.

Grüße,
Stefan

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "stochastische Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]