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| Aufgabe | | y´´ + y = 2 cos(x) + x |
Homogene:
y´´ + y = 0
Exponentialansatz y = [mm] e^{\lambda x} [/mm] liefert:
[mm] \lambda [/mm] 1,2 = [mm] \pm [/mm] j
Somit Lösung der homogenen: C1 sin(x) + C2 cos(x)
Störglied g1(x): 2 cos(x) -> [mm] \beta=1 [/mm] [ wegen [mm] cos(\beta [/mm] x) = cos(1x) ]
Der Lösungsansatz für 2 cos(x) ist: A sin(x) + B cos(x)
Jedoch muss hier noch ein "x" hinzu multipliziert werden, da [mm] \beta [/mm] eine Lösung der Charakteristischen Gleichung
[mm] \lambda [/mm] 1,2 = [mm] \pm [/mm] j ist.
Das versteh ich nicht so recht.
Ist das so, weil es formell heißt: [mm] \lambda [/mm] 1,2 = [mm] \alpha \pm \beta [/mm] j
[mm] \alpha [/mm] = 0
[mm] \beta [/mm] = 1
???
Den Rest verstehe ich. Nur dieser Punkt ist mir unklar.
Danke im vorraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:49 Fr 24.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> y´´ + y = 2 cos(x) + x
> Homogene:
> y´´ + y = 0
> Exponentialansatz y = [mm]e^{\lambda x}[/mm] liefert:
> [mm]\lambda[/mm] 1,2 = [mm]\pm[/mm] j
> Somit Lösung der homogenen: C1 sin(x) + C2 cos(x)
>
> Störglied g1(x): 2 cos(x) -> [mm]\beta=1[/mm] [ wegen [mm]cos(\beta[/mm]
> x) = cos(1x) ]
> Der Lösungsansatz für 2 cos(x) ist: A sin(x) + B
> cos(x)
>
> Jedoch muss hier noch ein "x" hinzu multipliziert werden,
> da [mm]\beta[/mm] eine Lösung der Charakteristischen Gleichung
> [mm]\lambda[/mm] 1,2 = [mm]\pm[/mm] j ist.
>
> Das versteh ich nicht so recht.
> Ist das so, weil es formell heißt: [mm]\lambda[/mm] 1,2 = [mm]\alpha \pm \beta[/mm]
> j
> [mm]\alpha[/mm] = 0
> [mm]\beta[/mm] = 1
> ???
>
> Den Rest verstehe ich. Nur dieser Punkt ist mir unklar.
>
> Danke im vorraus
Das zur homogenen Gl $y''+y=0$ gehörende char. Polynom ist
[mm] p(z)=z^2+1.
[/mm]
Wegen [mm] \beta=1 [/mm] ist $j [mm] \beta$ [/mm] eine einfache Nullstelle von p. Daher die Mult. mit x.
FRED
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Wäre die homogene Gleichung y'' + 2y' + 4y = 0
lautet die charakteristische GLeichung [mm] z^2 [/mm] + 2z + 4 und [mm] \beta [/mm] somit 4
[ und [mm] \alpha [/mm] = 2] ?
Ok und wenn die beiden [mm] \beta [/mm] übereinstimmen dann mit x multi wegen einer einfacher Nullstelle
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:10 Fr 24.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Wäre die homogene Gleichung y'' + 2y' + 4y = 0
> lautet die charakteristische GLeichung [mm]z^2[/mm] + 2z + 4 und
> [mm]\beta[/mm] somit 4
> [ und [mm]\alpha[/mm] = 2] ?
Hä ? Die Gl. [mm] z^2+2z+4=0 [/mm] hat die Lösungen
[mm] $z_{1/2}=-1 \pm [/mm] j* [mm] \wurzel{3}$
[/mm]
Also: [mm] $\alpha=-1$ [/mm] und [mm] $\beta= \pm [/mm] j* [mm] \wurzel{3}$
[/mm]
>
> Ok und wenn die beiden [mm]\beta[/mm] übereinstimmen dann mit x
> multi wegen einer einfacher Nullstelle
?????? Was meinst Du denn damit ?
FRED
>
> lg
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Ok dann hab ichs falsch verstanden...
Ich denke, man muss bei der Aufgabe die [mm] \beta [/mm] vergleichen.
Das erste [mm] \beta [/mm] ist aus der Lösung von [mm] \lambda
[/mm]
In dieser Aufgabe [mm] \lambda [/mm] 1,2 = [mm] \alpha \pm \beta [/mm] j -> [mm] \beta [/mm] = 1
Das zweite [mm] \beta [/mm] entnehme ich dem Störglied 2 [mm] cos(\beta [/mm] x) -> [mm] \beta [/mm] = 1
Da diese beiden [mm] \beta [/mm] übereinstimmen multipliziere ich ein "x" dazu
Ist das richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 Fr 24.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ok dann hab ichs falsch verstanden...
>
> Ich denke, man muss bei der Aufgabe die [mm]\beta[/mm] vergleichen.
Hä ???
> Das erste [mm]\beta[/mm] ist aus der Lösung von [mm]\lambda[/mm]
> In dieser Aufgabe [mm]\lambda[/mm] 1,2 = [mm]\alpha \pm \beta[/mm] j ->
> [mm]\beta[/mm] = 1
>
> Das zweite [mm]\beta[/mm] entnehme ich dem Störglied 2 [mm]cos(\beta[/mm] x)
> -> [mm]\beta[/mm] = 1
>
> Da diese beiden [mm]\beta[/mm] übereinstimmen multipliziere ich ein
> "x" dazu
>
> Ist das richtig?
Nein.
Zieh Dir das
[mm] http://www-math.upb.de/~mathkit/Inhalte/DGLen/data/manifest10/Lsg_inhomDGL_2_Ord_konst_Koeff.html
[/mm]
mal in aller Ruhe rein.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:21 Sa 25.04.2015 | | Autor: | C11H15NO2 |
Ah okay. Jetzt hab ichs
Danke
Gruß
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