Störgliedansatz bei DGL'en < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:41 Do 09.03.2006 | | Autor: | Boggyman |
Hallo, bin im thema DGL's relativ weit gekommen, nur jetzt kommen mir einige fragen in den sinn.
Ich hab probleme bei dem störgliedansatz von differentialgleichungen 2ter ordnung.
"wenn eine lösung der charakteristischen in der störfunktion vorkommt dann tritt resonanz auf und der störgliedansatz muss mit x multipliziert werden." das hab cih soweit verstanden. Die "ersten zwei fällen" also ,wo die charakteristische gleichung eine bzw. zwei lösungen liefert, bereiten mir keine schwierigkeiten. Aber im "dritten Fall" wo die determinante kleiner null ist, also wo ein komplexes ergebnis die homogene lösung beschreibt, habe ich eine frage
bei der DGL
y''+2*y'+2*y=sin(x)
tritt hier nun ein resonanzfall auf
denn die die homogene lösung ist (durch exponentialansatz)
[mm] \lambda_{1}=-1+j
[/mm]
[mm] \lambda_{2}=-1-j
[/mm]
==> [mm] y_{h}=e^{-x}*(C_{1}*sin(x)+C_{2}*cos(x))
[/mm]
ist dann der störgliedansatz
[mm] y_{p}=A*cos(x)+B*sin(x)
[/mm]
oder
[mm] y_{p}=A*x*cos(x)+B*x*sin(x) [/mm] (resonanzfall)
denn wenn ich den imaginär teil der lösung des exponential ansatz betrachte tritt resonanz auf. oder muss ich den kompletten teil von [mm] \lambda_{1} [/mm] bzw. [mm] \lambda_{2} [/mm] betrachten und ihn mit der störfunktion vergleichen.
Danke schon mal im vorraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:52 Fr 10.03.2006 | | Autor: | Boggyman |
hhmm vll. hab ich mich gestern irgendwie falsch ausgedrückt, denn in meinem Etechnik studium werden die sachen resonanz und störgliedansatz genannt. Vll. wird das in anderen studiengängen anders genannt.
also ich erkläre mal wie wir diese DGL'en lösen
aber diese DGL'en haben wir immer mit dem [mm] "e^{ \lambda *x}" [/mm] ansatz gelöst. unser professor bestand darauf den ansatz so zu nenen :o)
also [mm] y=e^{ \lambda *x}
[/mm]
y' [mm] =\lambda [/mm] * [mm] e^{ \lambda *x}
[/mm]
y'' = [mm] \lambda^{2} [/mm] * [mm] e^{ \lambda *x}
[/mm]
in die ausgangsgleichung einsetzen die in eine homogenen umgewandelt wurde (ausglangeleichung y''+2*y'+2*y= sin (x) )
y''+2*y'+2*y=0
==> [mm] (\lambda^{2} +2*\lambda [/mm] +2 [mm] )*e^{ \lambda *x} [/mm] = 0
in pq Formel einsetzten dann kommen zwei lösungen raus
[mm] \lambda_{1}=-1+j
[/mm]
[mm] \lambda_{2}=-1-j
[/mm]
dann hat man doch diese 3 fälle von den homogenen gleichungen. in diesem fall der dritte denn im [mm] "e^{ \lambda *x}" [/mm] ansatz kommt was imaginäres raus
so jetzt muss cih doch irgendwie den störgleid ansatz herrausfinden,. also in meinem fall is die störfunktion sin(x) und der ansatz müsste A*cosx+Bsinx aber wenn resonanz auftritt muss ích diesen ansatz mit x multiplizieren
Muss ich das jetzt oder nich. Woran erkenne ich diesen resonanzfall.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 Fr 10.03.2006 | | Autor: | d_lphin |
Hallo Boggyman,
entschuldige bitte
nochmal neu:
Christian hat recht: da hier keine Lösung vorliegt, brauchst du den Ansatz:
$ [mm] y_{p}=A*sin(\beta x)+B*cos(\beta [/mm] x) $
allgemein: $ [mm] g(x)=sin(\beta [/mm] x) $ und [mm] j*\beta [/mm] ist keine Lösung, dann $ [mm] y_{p}=A*sin(\beta x)+B*cos(\beta [/mm] x) $
sonst $ [mm] x*(A*sin(\beta x)+B*cos(\beta [/mm] x)) $
und bei entsprechend mehreren n-gleichen Nullstellen $ [mm] x^{n}*(A*sin(\beta x)+B*cos(\beta [/mm] x)) $
Gruß
del
war wohl etwas schnell, vorhin - jetzt müsste es passen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:52 Fr 10.03.2006 | | Autor: | Boggyman |
Also
nur auf das imaginäre achten und das dann mit dem störglied vergleichen :o)
danke für die antwort
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:01 Fr 10.03.2006 | | Autor: | d_lphin |
... einmal neu!
Gruß
del
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Hallo d_lphin,
Resonanz liegt vor wenn sowohl Real als auch imaginärteil übereinstimmen, was hier nicht der Fall ist.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:36 Fr 10.03.2006 | | Autor: | d_lphin |
Hallo Christian,
dachte es geht nur um die Frage x oder nicht x (also nur um sin und cos und nicht um e^ax....
ändere es gleich ab
Gruß
del
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Fr 10.03.2006 | | Autor: | Boggyman |
Um ehrlich zu sein habt ihr mich n bisl durcheinander gebracht *grins ;o)
aber ich glaube in diesem Fall
[mm] y_{p}=A\cdot{}sin(\beta x)+B\cdot{}cos(\beta [/mm] x)
und wenn das Störglied
$ [mm] g(x)=sin(\beta [/mm] x) $
ist dann muss der realteil wegfallen und nur der imaginär teil nur stehen bleiben, damit nur noch $ [mm] j\cdot{}\beta [/mm] $ stehen bleibt und eine lösung ist. dann tritt resonanz auf und nur dann
und wenn die lösung aus einem imaginär teil und einem realteil besteht dann kann keine resonanz auftreten.
so müsste das doch sein. wenn das jetzt stimmt dann werd ich ncih weiter nerven ;o)
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Hallo Boggyman
Damit für [mm] \lambda=-1+j [/mm] Resonanz auftritt könnte die rechte Seite z.B. [mm] e^{-x}sin(x) [/mm] sein.
Grob gesagt ist Resonanz wenn die "rechte Seite" der DGL selbst die homogene DGL löst.
Alle Klarheiten beseitigt?
gruß
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:38 Sa 11.03.2006 | | Autor: | Boggyman |
ok danke, jetzt ist mir alles klar.
dann kann ja nix mehr in der mathe fachprüfung am freitag schief gehen :o)
wenn mir doch noch was einfällt, ich wiess wo ich euch finden kann ;o)
bis zum nächsten mal
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