Störungssatz für DGL 1. Ordnun < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei y:[0,1] [mm] \IR [/mm] eine differenzierbare Abbildung mit der Eigenschaft
y' = -ycos(y) und y(0)=1 .
Beweisen Sie, dass
-1 [mm] \le [/mm] y(1) [mm] \le [/mm] 3
gilt, indem Sie eine geeignete Näherung für die Differentialgleichung finden. |
Meine Fragen sind nun 1)wie bekomme ich eine Näherung?
2)Da hier Störungssatz angewendet werden soll, wie finde ich ein Maximum und wie gehe ich dann weiter vor ?
1) also ich habe mir erst überlegt mit Taylorpolynom anzunähern, da kam aber was so verrücktes , das ich eher dachte ich schätze cos(y) durch 1 ab , sodass meine gestörte funktion dann lautet
x'(t)= -x und die gestörte Lösung ist dann nach Anwenden des Satzes über Lösungen homogener linearer DGLs x(t)=e^-t
Lipschitzkonstante ist L=1
2) ich weiss ch benötige ||y(t)-x(t)|| [mm] \le M/L*(e^L(t-t0) [/mm] -1)
mit M = max(für [mm] a\in[t0=0,t=1]) [/mm] ||fy(a,x(a) -fx(a,x(a)||
nur weiss ich nicht wie ich das nun anwenden soll, ich brauche unbedingt Hilfe und bin für jede dankbar ! 
Ich habe diese in einem anderen Foum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:39 Sa 28.03.2015 | | Autor: | jasmin12 |
keiner der mir helfen kann? finde nichts dazu im Internet :/
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 So 29.03.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:13 Mo 30.03.2015 | | Autor: | jasmin12 |
Falls es doch wer weiß, wie man da rangehen kann bin ich sehr dankbar , habe bei M nun abgeschätz 2 raus und dann kommt
||y(t)-x(t)|| < 3 aber wie bekomme ich das es > -1 ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:48 Mo 30.03.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich verstehe nicht, warum man eine Näherung nehmen soll, da ja y=e^(-sin(x)) die Dgl mit den Anfangsbed. erfüllt und man y(1) direkt ausrechnen kann.
statt cos die Taylorentwicklung etwa [mm] 1-x^2/2 [/mm] einsetzen + Fehler bringt nicht mehr, y>0 für alle x kpmmt immer raus.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 Mo 30.03.2015 | | Autor: | jasmin12 |
In der Aufgabe steht man soll eine Näherung verwenden, diese dient dann als gestörte definierende Abb. mit gestörter Lsg. laut Störungssatz, wie löst man den die DGL -y*cos(y) ? mit getrennten Veränderlichen bekomme ich dann
t+c = -ysin(y) -cos(y)
da bekommt man aber doch keine Lösung , deswegen soll man das doch mit dem Störungssatz zeigen wo die Lösungen der DGL liegen also in welchem bereich.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:05 Mo 30.03.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
Entschuldige ich hatte de Dgl falsch gelesen mit cos(x) statt cos(y)
wegen [mm] -1\le [/mm] cos (y) le 1 kann die Funkion maximal wie y*=y steigen also wie [mm] y=e^x [/mm] und [mm] e^1<3
[/mm]
in wirklichkeit gällt die Funktion bei x=0 kann also nur Werte < 1 erreichen.
aber wegen y'(ß)=-1 fällt die fkt mit steigendem x, d,h, cos(y) wird kleiner ,y bleibt positiv, d.h die Lösungskurve fällt sicher bis x=1 ist also <1 und nicht nur <3
nach links steigt die Kurve an, kann aber den Wert [mm] y=\pi/2 [/mm] nicht übersteigen , weil da wieder y'=0
ohne Näherung sieht man, dass die Funktion, wenn [mm] y(x_1)=0 [/mm] sie konstant 0ist , d.h. wenn sie mit dem Wert y(0)=1 anfängt kann sie nie <0 werden also auch nicht <-1
Gruss ledum
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