Stoppzeit nachweisen, widerl. < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 Fr 19.04.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Betrachte eine einfache Irrfahrt $ [mm] S_n [/mm] $ = $ [mm] \sum_{k=1}^n X_k [/mm] $ mit $ [mm] P[X_k =1]=P[X_k=-1] [/mm] $ = 1/2.
Sei $ [mm] \mathcal{A}_n [/mm] $ die Menge aller bis zum Zeiptunkt n beobachtbaren Ereignisse, das heißt alle Ereignisse die sich als Vereinigung von Ereignissen der Form $ [mm] \{ X_1 = x_1 ,.., X_n = x_n\} [/mm] $ darstellen lassen.
Sei [mm] \tau_c [/mm] := max [mm] \{ n \in \IN : S_n \le c \} [/mm] für c [mm] \ge [/mm] 0. Zeige, dass [mm] \tau_c [/mm] keine Stoppzeit
Sei [mm] T_c [/mm] := [mm] \tau_c [/mm] +1. Zeige dass [mm] T_c= [/mm] inf [mm] \{ n \in \IN : S_n > c \} [/mm] |
Da wir im Kapitel diskrete Ws-Räume sind, ist [mm] \omega [/mm] abzählbar.
Abbildung K: [mm] \Omega [/mm] -> [mm] \{ 1,.., N \} [/mm] heißt SToppzeit falls [mm] \{ T= n \} \in \mathcal{A_n} \forall [/mm] n=0,..N
Gleichbedeutend mit Definition: [mm] \{ T \le n \} \in \mathcal{A_n}
[/mm]
Ich nehmen an [mm] \tau_c [/mm] ist eine SToppzeit.
So gilt insbesondere [mm] \{ \tau_c =0 \} \in \mathcal{A_0}
[/mm]
[mm] \mathcal{A}_0 [/mm] sind die beobachtbaren Ereignisse bis zum Zeitpunkt 0.
Also ist [mm] \mathcal{A}_0= \{ \{\emptyset\} \}
[/mm]
[mm] \{ \tau_c =0 \} \in \mathcal{A}_0 [/mm] = [mm] \{ \{\emptyset\} \}
[/mm]
=> [mm] \{ \tau_c =0 \} [/mm] = [mm] \{\emptyset\}
[/mm]
Nun ist aber [mm] \emptyset \subset \{ X_1 = -1 ,.., X_n = -1\} \subset \{ T_c =0 \}
[/mm]
da c [mm] \ge [/mm] 0 nach angabe.
Ist nun nicht ein Widerspruch da?
[mm] T_c [/mm] := [mm] \tau_c [/mm] +1
Hier ist mir die aussage [mm] T_c= [/mm] inf [mm] \{ n \in \IN : S_n > c \} [/mm] nicht klar, bzw. empfinde ich als falsch.. Wenn z.B. der Pfad nicht c erreicht.
Hat man sich vlt. bez. [mm] \tau [/mm] geirrt?
Oder sehe ich das falsch?
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Hallo sissile,
> Betrachte eine einfache Irrfahrt [mm]S_n[/mm] = [mm]\sum_{k=1}^n X_k[/mm] mit
> [mm]P[X_k =1]=P[X_k=-1][/mm] = 1/2.
> Sei [mm]\mathcal{A}_n[/mm] die Menge aller bis zum Zeiptunkt n
> beobachtbaren Ereignisse, das heißt alle Ereignisse die
> sich als Vereinigung von Ereignissen der Form [mm]\{ X_1 = x_1 ,.., X_n = x_n\}[/mm]
> darstellen lassen.
>
>
> Sei [mm]\tau_c[/mm] := max [mm]\{ n \in \IN : S_n \le c \}[/mm] für c [mm]\ge[/mm] 0.
> Zeige, dass [mm]\tau_c[/mm] keine Stoppzeit
> Sei [mm]T_c[/mm] := [mm]\tau_c[/mm] +1. Zeige dass [mm]T_c=[/mm] inf [mm]\{ n \in \IN : S_n > c \}[/mm]
> Da wir im Kapitel diskrete Ws-Räume sind, ist [mm]\omega[/mm]
> abzählbar.
Da wäre ich mir nicht so sicher - vielleicht bezieht sich das hier ja nur auf den Bildraum. Der Prozess [mm] $S_n$ [/mm] hat sein Bild ja im diskreten [mm] $\IZ$. [/mm] Der Grundraum [mm] $\Omega$, [/mm] wo die Zufallsvariablen [mm] X_k [/mm] starten, wird durch die Aufgabenstellung ja gar nicht festgelegt.
> Abbildung K: [mm]\Omega[/mm] -> [mm]\{ 1,.., N \}[/mm] heißt SToppzeit
> falls [mm]\{ T= n \} \in \mathcal{A_n} \forall[/mm] n=0,..N
> Gleichbedeutend mit Definition: [mm]\{ T \le n \} \in \mathcal{A_n}[/mm]
Ich kenne die Definition so, dass die Stoppzeit Werte in ganz [mm] \IN\cup \{\infty\} [/mm] annehmen kann und nicht durch N nach oben beschränkt sein muss. Durch eure Def. muss z.B. auch [mm] $T_c [/mm] := [mm] \inf \{n \in \IN: S_n > c\}$ [/mm] keine Stoppzeit sein, weil sie nicht beschränkt ist.
> Ich nehmen an [mm]\tau_c[/mm] ist eine SToppzeit.
> So gilt insbesondere [mm]\{ \tau_c =0 \} \in \mathcal{A}_0[/mm]
Richtig.
> [mm]\mathcal{A}_0[/mm] sind die beobachtbaren Ereignisse bis zum
> Zeitpunkt 0.
> Also ist [mm]\mathcal{A}_0= \{ \{\emptyset\} \}[/mm]
Da es eine Sigma-Algebra sein muss, müsste auf jeden Fall [mm] $\mathcal{A}_0 [/mm] = [mm] \{\emptyset, \Omega\}$ [/mm] gelten. Bei dir fehlt das [mm] $\Omega$. [/mm] Allerdings finde ich das kein besonders gutes Gegenbeispiel, weil in der Aufgabe gar nichts über [mm] $\mathcal{A}_0$ [/mm] gesagt wird. Es wird gar nicht definiert.
> [mm]\{ \tau_c =0 \} \in \mathcal{A}_0[/mm]
> = [mm]\{ \{\emptyset\} \}[/mm]
> => [mm]\{ \tau_c =0 \}[/mm] = [mm]\{\emptyset\}[/mm]
>
> Nun ist aber [mm]\emptyset \subset \{ X_1 = -1 ,.., X_n = -1\} \subset \{ T_c =0 \}[/mm]
Wieso kommt bei der Stoppzeit da 0 raus? Das ist auch nicht so klar. Du weißt doch nicht, wie es nach [mm] $X_n$ [/mm] weitergeht? Oder meinst du, dass alle [mm] X_i [/mm] = 0. ? Dann bedienst du dich wieder einer Konvention [mm] $\max \emptyset [/mm] = 0$, was das Gegenbeispiel nicht schön macht.
> da c [mm]\ge[/mm] 0 nach angabe.
> Ist nun nicht ein Widerspruch da?
Ich würde ein anderes Gegenbeispiel nehmen, z.B. mit [mm] $\{\tau_c = 1\}$...
[/mm]
> [mm]T_c[/mm] := [mm]\tau_c[/mm] +1
> Hier ist mir die aussage [mm]T_c=[/mm] inf [mm]\{ n \in \IN : S_n > c \}[/mm]
> nicht klar, bzw. empfinde ich als falsch.. Wenn z.B. der
> Pfad nicht c erreicht.
Ich sehe auch nicht, warum das gelten soll.
Wenn beispielsweise [mm] X_n [/mm] erst über c geht, dann wieder drunter, und dann wieder über c. Dann tritt [mm] T_c [/mm] schon beim ersten "über-c-gehen" ein, aber [mm] $\tau_c$ [/mm] hat mindestens den Wert vom zweiten "über-c-gehen".
Es wäre aber richtig, wenn [mm] $\tau_c [/mm] = [mm] \max\{n\in\IN: S_1,...,S_n \le c\}$ [/mm] gesetzt worden wäre. Dann würde irgendwie auch die ganze Aufgabe mehr Sinn machen.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:59 So 21.04.2013 | | Autor: | sissile |
Danke für den Beitrag.
Mein problem wir hatten zu dem Zeitpunkt noch keine Sigma algebren - sollen diese also fürs bsp auch nicht verwenden!
Also könnte ich:
[mm] \{ \tau_c = 1 \} \in \mathcal{A_1}=\{\{\emptyset\}, \Omega, \{X_1 =x_1\}\}
[/mm]
gar nicht sagen.
Ich glaub das Prinzip, ist hier falsch..bzw. ein fehler in der aufgabenstellung.
Nach Herumtelefonieren denke ich [mm] \tau_c [/mm] := [mm] max\{ n \in \IN, S_k \le c \forall k \le n \} [/mm] soll so lauten.
Weil dann: [mm] \{ \tau_c = n\} [/mm] = [mm] \{ \bigcap_{i>n} S_{i} > c \} [/mm] = [mm] \{ S_{n}=c\} \cap \{X_{n+1}=1 \} \cap \{ \bigcap_{j=n+2} S_{j} >c\}
[/mm]
Aber [mm] \{X_{n+1}= x_{n+1} \} \not\in \mathcal{A}_n
[/mm]
Richtig?
Würde hier:
[mm] \tau_c [/mm] +1 = [mm] inf\{n \in \IN: S_n > c \}
[/mm]
gelten? Intuitiv schon aber wie zeig ich das?
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Hallo,
> Danke für den Beitrag.
> Mein problem wir hatten zu dem Zeitpunkt noch keine Sigma
> algebren - sollen diese also fürs bsp auch nicht
> verwenden!
Eigenartige Vorlesung besuchst du da.
> Also könnte ich:
> [mm]\{ \tau_c = 1 \} \in \mathcal{A_1}=\{\{\emptyset\}, \Omega, \{X_1 =x_1\}\}[/mm]
>
> gar nicht sagen.
Was darfst du denn dann sagen?
> Nach Herumtelefonieren denke ich [mm]\tau_c[/mm] := [mm]max\{ n \in \IN, S_k \le c \forall k \le n \}[/mm] (*)
> soll so lauten.
D.h. [mm] $\tau_c$ [/mm] aus der Ausgangs-Aufgabenstellung war falsch?
Bei der Stoppzeit [mm] $\tau_c$ [/mm] in (*) ist die Nicht-Messbarkeit auch sehr anschaulich:
Man kann zum Zeitpunkt n nicht entscheiden, ob es der letzte Zeitpunkt ist, wo der Zeitreihe noch unter c liegt.
Das kann man erst, wenn man den Wert der Zeitreihe zum Zeitpunkt n+1 kennt.
> Weil dann: [mm]\{ \tau_c = n\}[/mm] = [mm]\{ \bigcap_{i>n} S_{i} > c \}[/mm]
> = [mm]\{ S_{n}=c\} \cap \{X_{n+1}=1 \} \cap \{ \bigcap_{j=n+2} S_{j} >c\}[/mm]
Nein. (Siehe auch unten)
[mm] $\{\tau_c = n\} [/mm] = [mm] \{S_1 \le c,..., S_n \le c, S_{n+1} > c\} [/mm] = [mm] \{S_1 \le c,... ,S_n \le c, X_{n+1} = 1\}$. [/mm] (*)
Angenommen [mm] $\{\tau_c = n\} \in \sA_n$.
[/mm]
Weil alle Ereignisse [mm] $\{X_1 = x_1,...,X_n = x_n\}$ [/mm] in [mm] $\sA_n$ [/mm] liegen, gilt auch [mm] $\{S_1 = s_1,...,S_n = s_n\} \in \sA_n$ [/mm] für alle [mm] $s_1,...,s_n$. ($S_n$ [/mm] ist ja eine Funktion von [mm] $X_1,...,X_n$. [/mm] Sind die Werte von [mm] $X_1,..,X_n$ [/mm] bekannt, dann auch die von [mm] $S_n$).
[/mm]
Dass (*) nicht in [mm] $\sA_n$ [/mm] liegt, hängt daran, dass es vom Wert von [mm] $X_{n+1}$ [/mm] abhängt.
> Würde hier:
> [mm]\tau_c[/mm] +1 = [mm]inf\{n \in \IN: S_n > c \}[/mm]
> gelten?
Ja.
Sei $N := [mm] \inf\{n \in \IN: S_n > c\}$.
[/mm]
Dann gilt [mm] $S_N [/mm] > c$, und [mm] $S_1,...,S_{N-1} \le [/mm] c$. (Das ist alles Def. des Infimums)
Damit folgt
[mm] $\tau_c [/mm] = [mm] \max\{n \in \IN: S_1,...,S_n \le c\} [/mm] = N-1$,
und somit
[mm] $\tau_c [/mm] + 1 = (N-1)+1 = N = [mm] \inf\{n \in \IN: S_n > c\}$.
[/mm]
Es ist also mehr oder weniger trivial.
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:17 So 21.04.2013 | | Autor: | sissile |
> Eigenartige Vorlesung besuchst du da.
Warum, wir haben es eben nur in einer anderen Reihenfolge gemacht. Und uns länger bei Diskreten Räumen aufgehalten - indem wir die Theorie der Sigma Algebren noch nicht gebraucht haben. Ich finde das nicht so schlecht, da so ein mehr ituitiver einstieg ind die Wahrscheinlichkeitstheorie gewährleistet wird. Ich empfand das als gut.
Danke für deinen beitrag.
Liebe Grüße
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:31 So 21.04.2013 | | Autor: | sissile |
Noch eine Frage.
Wenn ich von der ursprünglichen Angabe ausgehe:
[mm] \tau_c [/mm] := max [mm] \{ n \in \IN: S_n \le c \} [/mm] und beweisen will, dass es keine SToppzeit ist.
Funktioniert der Beweis:
[mm] \{ \tau_c = n \} [/mm] = [mm] \{ \bigcap_{i=n+1}^\infty S_i > c, S_n = c \}= \{ S_n =c, X_{n+1} =1, \bigcap_{i=n+2}^\infty S_i >c \}
[/mm]
[mm] X_{n+1} [/mm] ist schon nicht in [mm] \mathcal{A}_n [/mm] .
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Di 23.04.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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