Streng Monotone Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist folgende rekursiv definierte Folge:
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] a_{n-1} (1+\bruch{1}{n-1})^{n-1}
[/mm]
mit a2 = 2 und n>=2
a) Zeigen sie das folgende Berechnungsformel korrekt ist:
[mm] \bruch{n^n}{n!}
[/mm]
b) Zeigen sie das die Folge streng monoton wachsend ist
c) Ist die folge konvergent oder divergent. Begründen sie ihre Antwort (kein Beweis erforderlich!) |
Das ist eine Klausuraufgabe zur Klausurvorbereitung.
Zuzerstmal zu Aufgabenteil b
Um zu zeigen das sie streng monoton wachsend ist:
an < an+1
Also:
[mm] \bruch{n^n}{n!} [/mm] < [mm] \bruch{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}
[/mm]
Hier ist jetzt mein Problem. Wie ich das zeige das sie monoton steigend ist ist mir klar doch wie gehe ich mit [mm] n^n [/mm] bzw den Fakultäten hier um?!
zu c : Darauf kann ich dann ja schliessen wenn ich das Ergebnis von b habe.
lg marry
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Wärst Du so nett, Deine Aufgabe nochmal zu überarbeiten? Du bemühst zwar den Formeleditor, was hier auch ausnehmend hilfreich ist, aber da hat irgendwas nicht geklappt.
Verwende den Button "Vorschau", bevor Du die Überarbeitung abschickst, dann kannst Du sehen, was später auch allen anderen angezeigt werden wird.
Mir ist z.B. die Definition der Folge noch nicht klar.
Zu [mm] n^n [/mm] und n!: Beide lassen sich als Produkt mit n Faktoren schreiben. Mach mal einen gliedweisen Vergleich.
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Sorry...., jetzt sollte alles stimmen :)
> Zu [mm]n^n[/mm] und n!: Beide lassen sich als Produkt mit n Faktoren
> schreiben. Mach mal einen gliedweisen Vergleich.
Ähm, wie meinst du das? Kannst du mir das mal zeigen?
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Erstmal danke für die Formelverbesserung!
Mein Vorschlag eben (gliedweiser Vergleich) ist hier gar nicht geschickt, sehe ich jetzt.
Du willst zeigen:
[mm] \bruch{n^n}{n!}<\bruch{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} [/mm] Dabei ist ja (n+1)!=n!*(n+1)
Umgeformt also
[mm] \bruch{n^n}{n!}<\bruch{(n+1)^{n+1}}{n!*(n+1)} [/mm] Jetzt mit n! multiplizieren:
[mm] n^n<(n+1)^n
[/mm]
Jetzt kannst Du gliedweise vergleichen, musst Du aber eigentlich nicht mehr. Da n>1 (sogar n>2) sicher ist, kannst Du auch die n-te Wurzel ziehen und erhältst
[mm] \a{}n
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Oh, ich hatte damals ja ganz vergessen die restlichen Aufgabenteile zu posten.
Zu Aufgabenteil a würde ich folgendes tun : Einfach in die beiden Formeln Zahlen einsetzen -> Wenn die Ergebnisse gleich sind stimmt das ganze?
Zu Aufgabenteil c würde ich so interpretieren :
[mm] n^n [/mm] wächst immer schneller als n! was bedeutet im Zähler steht immer eine größere Zahl als im Nenner deswegen divergent?
Lg
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Hallo Marry!
Welche Zahlen willst Du denn einsetzen? Alle natürlichen zahlen? Dann bist Du ziemlich lange beschäftigt ... 
Du musst hier schon ein Beweisverfahren wie z.B. vollständige Induktion verwenden.
Bei Aufgabe c.) hast Du Recht.
Gruß vom
Roadrunner
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Ok, also die Induktionsbasis habe ich jtzt mal gemacht.
Bei beiden Gleichungen Zahlen eingesetzt und das selbe kam raus.
Muss ich jetzt bei der rekursiven Gleichung an+1 einsetzen? Oder wie baue ich das ganze auf? Ich muss ja jetzt zeigen das es für das n+1ste Glied auch funktioniert..?
Lg
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Hallo Marry!
Du solltest uns auch verraten, was Du wie rechnest und es hier posten!
[mm] $$a_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \red{a_n}*\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \red{\bruch{n^n}{n!}}*\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n [/mm] \ = \ ...$$
Gruß vom
Roadrunner
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OK, ähm also wenn ich ehrlich bin ich weis nicht so wirklich was ich tun soll :-( Hab mir das ganze auch mal im Buch durchgelesen aber ich blick nicht durch.
Ich habe jetzt diese beiden Formeln, die eine rekursive und die andere nicht rekursive.
$ [mm] a_{n} [/mm] $ = $ [mm] a_{n-1} (1+\bruch{1}{n-1})^{n-1} [/mm] $
und
$ [mm] \bruch{n^n}{n!} [/mm] $
Wie gehe ich nachdem ich die Induktionsbasis gezeigt habe vor
Meine Induktionsbasis ist das ich mit beiden Formeln z.b. 3 ausrechne und da kommt dann antürlich das selbe raus....
...ich verzweifel hier echt grad :-(
Lg
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Hallo Marry!
Den Anfang habe ich Dir doch oben gezeigt.
Bringe die Klammer nun auf einen Bruchstrich und wende eines der  Potenzgesetze an. Anschließend noch mit [mm] $\bruch{n+1}{n+1}$ [/mm] erweitern, um auf das gewünschte Ergebnis
[mm] $$a_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}$$
[/mm]
zu kommen.
Gruß vom
Roadrunner
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Ok...Ich glaube ich habe einfach nur ein Problem beim zusammenfassen :)
Ich mache folgendes :
[mm] \bruch{n^n}{n!} [/mm] * (1+ [mm] \bruch{1}{n})^n
[/mm]
[mm] \bruch{n^n}{n!} [/mm] * [mm] (\bruch{n}{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n})^n
[/mm]
Passt das bis hierhin?
Ich hab mal ein einfacheres Beispiel zum Verständnis gerechnet nämlich :
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * [mm] a_{n}
[/mm]
und der Berechnnungsformel : [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{2}{(n-1)!}
[/mm]
Jetzt schreibe ich einfach [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * [mm] \bruch{2}{(n-1)!}
[/mm]
Nach ausrechnen komme ich dann auf [mm] \bruch{2}{n!} [/mm] was ja dann richtig ist :) ? oder
Lg
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Hallo Marry!
Soweit stimmen Deine Umformungen und Überlegungen ...
Gruß vom
Roadrunner
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[mm] \bruch{n^n}{n!} [/mm] * [mm] \bruch{(n+1)^n}{n^n}
[/mm]
dann hab ich noch die Klammer weggemacht und überleg jetzt wie ich jetzt ncoh weitermachen könnte ?!?
Wie kann ich denn [mm] n^n [/mm] und [mm] (n+1)^n [/mm] zusammenfassen?
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Hallo Marry!
> [mm]\bruch{n^n}{n!}[/mm] * [mm]\bruch{(n+1)^n}{n^n}[/mm]
Zunächst einmal kannst Du nun [mm] $n^n$ [/mm] kürzen. Und dann einfach meine Tipps befolgen!
Gruß vom
Roadrunner
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Ok, das Problem an der Sache ist darauf zu kommen mit [mm] \bruch{n+1}{n+1} [/mm] zu erweitern. Komme dann aber auch auf das Ergebnis.
Hättest du vielleicht ein ähnliches Beispiel für mich zum Üben oder nochmal Probieren?
lg
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Hallo Marry!
> Ok, das Problem an der Sache ist darauf zu kommen mit
> [mm]\bruch{n+1}{n+1}[/mm] zu erweitern.
Man sollte halt immer im Blick haben, welches Ergebnis man am Ende erhalten möchte.
> Hättest du vielleicht ein ähnliches Beispiel für mich zum
> Üben oder nochmal Probieren?
Nein, das nicht. Aber durchstöbere doch mal hier die Foren (insbesondere "Folgen und Reihen" sowie "Induktionsbeweise").
Gruß vom
Roadrunner
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:23 Mi 28.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Oh, ich hatte damals ja ganz vergessen die restlichen
> Aufgabenteile zu posten.
>
> Zu Aufgabenteil a würde ich folgendes tun : Einfach in die
> beiden Formeln Zahlen einsetzen -> Wenn die Ergebnisse
> gleich sind stimmt das ganze?
>
> Zu Aufgabenteil c würde ich so interpretieren :
> [mm]n^n[/mm] wächst immer schneller als n! was bedeutet im Zähler
> steht immer eine größere Zahl als im Nenner deswegen
> divergent?
Mit dieser Argumentation bin ich nicht einverstanden ! Betrachte mal die folge
[mm] (\bruch{n+10000000000}{n})
[/mm]
Hier steht im Zähler immer eine größere Zahl als im Nenner, dennoch ist die Folge konvergent.
FRED
>
> Lg
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Ok,....
Stimmt, das sehe ich ein...
Hat es denn dann was damit zu tun das [mm] n^n [/mm] immer stärker ansteigt als n! ?
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:47 Do 29.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Schau mal hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Stirling-Formel
FRED
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Ok, damit könnte ich dann wohl eine Nährerung berechnen....
Ich glaube aber das das etwas zu weit gegriffen ist. Haben wir nie in der Vorlesung gemacht....Gibt es keine andere Möglichkeit das einfach zu begründen?
Lg
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Hallo Marry!
Folgende Umformung sollte Dir helfen:
[mm] $$\bruch{n^n}{n!} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\overbrace{n*n*n*...*n}^{= \ n \ \text{Faktoren}}}{\underbrace{1*2*3*...*n}_{= \ n \ \text{Faktoren}}} [/mm] \ = \ [mm] \underbrace{\bruch{n}{1}*\bruch{n}{2}*\bruch{n}{3}*...*\bruch{n}{n}}_{= \ n \ \text{Faktoren}}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 Fr 30.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
Eine andere Moeglichkeit ist, den Term $(1 + [mm] \frac{1}{n - 1})^{n - 1}$ [/mm] zu untersuchen; wenn er ab einem gewissen [mm] $n_0$ [/mm] immer groesser als $1 + [mm] \varepsilon$ [/mm] ist (fuer ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$), kannst du damit sehr einfach zeigen, dass die Folge [mm] $a_n$ [/mm] gegen [mm] $\infty$ [/mm] divergiert (da die Folgenglieder alle echt positiv sind).
Kennst du [mm] $\lim_{n\to\infty} [/mm] (1 + [mm] \frac{1}{n})^n$?
[/mm]
LG Felix
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Wäre es auch einfach möglich das Quotientenkriterium darauf anzuwenden?
Ich komme dann auf
[mm] \bruch{(n+1)^n}{n^n}
[/mm]
An dem Bruch sehe ich ja das der Zähler immer größer ist als der Nenner deshalb -> divergent?
Lg
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Hallo Maria,
> Wäre es auch einfach möglich das Quotientenkriterium darauf
> anzuwenden? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das Quotientenkriterium ist für die Konvergenzuntersuchung von Reihen
> Ich komme dann auf
> [mm]\bruch{(n+1)^n}{n^n}[/mm]
> An dem Bruch sehe ich ja das der Zähler immer größer ist
> als der Nenner deshalb -> divergent?
Nein, so einfach ist es leider nicht
Es ist [mm] $\frac{(n+1)^n}{n^n}=\left(\frac{n+1}{n}\right)^n=\left(\frac{n}{n}+\frac{1}{n}\right)^n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n [/mm] \ [mm] \longrightarrow [/mm] e$ für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
>
> Lg
Gruß
schachuzipus
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