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Streng monoton Teilfolge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:26 Do 08.12.2005
Autor: pharaoh428

Ich habe diese Frage in dieses Forum gestellt :  []www.uni-protokolle.de


Wie sollte ich beweisen, dass man aus jeder Zahlenfolge eine STRENG monoton Teilfolge auswählen kann? Und die Menge der Werte dieser Zahlenfolge ist unendlich.

Ich weiss, dass es Wahrheit ist, aber ich habe keine Idee, wie es ich beweisen sollte. Ich habe einen Rat bekommen: ich sollte zwei Fälle überlegen
1. die Zahlenfolge ist unbeschränkt
2. die Zahlenfolge ist beschränkt, dann sollte ich irgendwie der Satz von Weierstrass benutzen, dass jede Teilfolge der beschränkten Zahlenfolge konvergiert...

Ich weiss zwar nicht, ob dieser Rat wirklich benutzlich sein kann, aber es ist das Einzige, dass ich bisher habe...

        
Bezug
Streng monoton Teilfolge: So, so ...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:32 Do 08.12.2005
Autor: Loddar

Hallo Pharaoh!


> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Und das hier? []www.uni-protokolle.de


Loddar


Bezug
                
Bezug
Streng monoton Teilfolge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:15 Do 08.12.2005
Autor: pharaoh428

Ich habe meine Frage ins andere Forum gegeben nachdem ich hatte sie hier gegeben (ich wusste damals nicht, dass ich es tun werde)... so habe ich nicht gelogen...

Bezug
        
Bezug
Streng monoton Teilfolge: Aussage?!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:55 Do 08.12.2005
Autor: banachella

Hallo!

Das Problem mit dieser Frage ist wohl, dass die Aussage nicht stimmt. Betrachte z.B. die Folge [mm] $a_n=1$. [/mm] Da die Folge konstant ist, gibt es auch keine streng monotone Teilfolge...
Bist du sicher, dass die Angabe vollständig ist?

Gruß, banachella

Bezug
                
Bezug
Streng monoton Teilfolge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:12 Do 08.12.2005
Autor: pharaoh428

Ja ich habe vergessen eine sehr vichtige Einzelhait zu erwähnen und zwar diese: Und die Menge der Werte dieser Zahlenfolge ist unendlich.
(Jetzt habe ich es schon in meiner Frage schreiben).

Bezug
        
Bezug
Streng monoton Teilfolge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:43 Fr 09.12.2005
Autor: Julius

Hallo!

Der unbeschränkte Fall ist ja trivial.

Jetzt zum beschränkten Fall:

Ist die Folge [mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm] beschränkt, dann gibt es eine konvergente Teilfolge [mm](a_n')[/mm] (nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß) mit Grenzwert $a$. Es gibt nun entweder unendlich viele Werte [mm]a_n'[/mm] mit [mm]a_n' \ge a [/mm] oder unendlich viele Werte [mm]a_n'[/mm] mit [mm]a_n' \leq a[/mm]. Es gibt also eine Teilfolge [mm](a_n'')_{n \in \IN}[/mm] von [mm](a_n')_{n \in \IN}[/mm], die nur von einer Seite gegen $a$ konvergiert.

Jetzt wählen wir uns die monotone Folge wie folgt:

Es gelte oBdA [mm] $a_n'' [/mm] < a$ für alle $n [mm] \in \IN$. [/mm] Es seien [mm] $a_1''',\ldots,a_{n-1}'''$ [/mm] schon echt aufsteigend gewählt. Dann findet man wegen der Konvergenz von [mm] $(a_n'')_{n \in \IN}$ [/mm] gegen $a$ ein [mm] $a_n'''$ [/mm] mit

$a - [mm] a_n''' [/mm] < [mm] a-a_{n-1}''':= \varepsilon>0$, [/mm]

also mit [mm] $a_n''' [/mm] > [mm] a_{n-1}'''$. [/mm]

Dann ist [mm] $(a_n''')_{n \in \IN}$ [/mm] die gesuchte Folge.

Liebe Grüße
Julius

Bezug
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