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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:19 Do 17.02.2011 | | Autor: | carl1990 |
| Aufgabe | Durch die holomorphe Funktion
f(z) = [mm] \phi(x; [/mm] y) + i [mm] \psi(x; [/mm] y) (z = x + i y)
wird eine ebene Potentialströmung mit dem Geschwindigkeitsfeld [mm] \overrightarrow{v} [/mm] = [mm] grad\phi [/mm] beschrieben
[mm] (\phi [/mm] ist also das Potential von [mm] \overrightarrow{v}). \psi [/mm] heißt Stromfunktion. Die Stromlinien sind durch die
Kurven [mm] \psi [/mm] = const. gegeben.
Die Stromlinien einer ebenen Potentialströmung seien die logarithmischen Spiralen r =
[mm] C*e^{-\alpha} [/mm] (C ... Scharparameter; [mm] r,\alpha [/mm] ... Polarkoordinaten).
a) Man bestimme die Stromfunktion in Polarkoordinaten.
b) Man ermittle die zugehÄorige Potentialfunktion. Wie lautet f(z)?
c) Aus welchen Grundströmungen setzt sich das Feld zusammen?
Anleitung: Es gilt [mm] \psi(r,\alpha) [/mm] = g(C) = g(r [mm] e^\alpha). [/mm] Die Bedingung [mm] \Delta\psi= [/mm] 0 [mm] (\Delta\psi [/mm] in Po-
larkoordinaten) führt nach Substitution t = r [mm] e^\alpha [/mm] auf eine Eulersche Dgl, deren Lösung
die Stromfunktion ist. Anwendung der Cauchy-Riemannschen Dgln in Polarkoordinaten
[mm] (\phi_{r}= \bruch{1}{r}\psi_{\alpha}; \phi_{\alpha}=-r*\psi_{r}) [/mm] ergibt das zugehörige [mm] \phi(r,\alpha). [/mm] |
Hallo,
ich habe schon bei a) Probleme beim Aufstellen der DGL zur Ermittlung der Stromfunktion.
Mein Ansatz:
Laplace in Polarkoordinaten:
[mm] \Delta\psi= r^2*\psi_{rr}+r*\psi_{r}+\psi_{\alpha\alpha}=0
[/mm]
Subst. [mm] t=r*e^\alpha
[/mm]
So nun habe ich mir die einzelnen Summanden vorgenommen ->
[mm] r^2*\psi_{rr} [/mm] = 0; [mm] r*\psi_{r} [/mm] = [mm] r*\bruch{\partial\psi}{\partial t}*\bruch{\partial t}{\partial r} [/mm] = [mm] r*g'*e^{\alpha}=t*g'; [/mm] beim nächsten Ausdruck bin ich mir überhaupt nicht sicher, ob man das so formulieren kann -> [mm] \psi_{\alpha\alpha} [/mm] = [mm] \bruch{\partial^2 \psi}{\partial t^2}*\bruch{\partial^2 t}{\partial \alpha^2} [/mm] = [mm] \bruch{\partial^2 \psi}{\partial t^2}*\bruch{\partial t}{\partial \alpha}* \bruch{\partial t}{\partial \alpha} [/mm] = [mm] g''*t^2
[/mm]
-> nur so komme ich auf die richtige DGL, welche [mm] g'*t+g''*t^2 [/mm] = 0 sein muss.
aber eigentlich ist ja [mm] \bruch{\partial^2 t}{\partial \alpha^2} \not= \bruch{\partial t}{\partial \alpha}* \bruch{\partial t}{\partial \alpha} [/mm] oder, da ja [mm] \bruch{\partial^2 t}{\partial \alpha^2} [/mm] = [mm] r*e^\alpha [/mm] = t und nicht [mm] t^2 [/mm] ist!?
Wäre sehr dankbar für jede Hilfe!
Grüße
Carl
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Hallo carl1990,
> Durch die holomorphe Funktion
> f(z) = [mm]\phi(x;[/mm] y) + i [mm]\psi(x;[/mm] y) (z = x + i y)
> wird eine ebene Potentialströmung mit dem
> Geschwindigkeitsfeld [mm]\overrightarrow{v}[/mm] = [mm]grad\phi[/mm]
> beschrieben
> [mm](\phi[/mm] ist also das Potential von [mm]\overrightarrow{v}). \psi[/mm]
> heißt Stromfunktion. Die Stromlinien sind durch die
> Kurven [mm]\psi[/mm] = const. gegeben.
> Die Stromlinien einer ebenen Potentialströmung seien die
> logarithmischen Spiralen r =
> [mm]C*e^{-\alpha}[/mm] (C ... Scharparameter; [mm]r,\alpha[/mm] ...
> Polarkoordinaten).
> a) Man bestimme die Stromfunktion in Polarkoordinaten.
> b) Man ermittle die zugehÄorige Potentialfunktion. Wie
> lautet f(z)?
> c) Aus welchen Grundströmungen setzt sich das Feld
> zusammen?
> Anleitung: Es gilt [mm]\psi(r,\alpha)[/mm] = g(C) = g(r [mm]e^\alpha).[/mm]
> Die Bedingung [mm]\Delta\psi=[/mm] 0 [mm](\Delta\psi[/mm] in Po-
> larkoordinaten) führt nach Substitution t = r [mm]e^\alpha[/mm]
> auf eine Eulersche Dgl, deren Lösung
> die Stromfunktion ist. Anwendung der Cauchy-Riemannschen
> Dgln in Polarkoordinaten
> [mm](\phi_{r}= \bruch{1}{r}\psi_{\alpha}; \phi_{\alpha}=-r*\psi_{r})[/mm]
> ergibt das zugehörige [mm]\phi(r,\alpha).[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe schon bei a) Probleme beim Aufstellen der DGL zur
> Ermittlung der Stromfunktion.
>
> Mein Ansatz:
>
> Laplace in Polarkoordinaten:
> [mm]\Delta\psi= r^2*\psi_{rr}+r*\psi_{r}+\psi_{\alpha\alpha}=0[/mm]
>
> Subst. [mm]t=r*e^\alpha[/mm]
>
> So nun habe ich mir die einzelnen Summanden vorgenommen ->
>
> [mm]r^2*\psi_{rr}[/mm] = 0; [mm]r*\psi_{r}[/mm] =
> [mm]r*\bruch{\partial\psi}{\partial t}*\bruch{\partial t}{\partial r}[/mm]
> = [mm]r*g'*e^{\alpha}=t*g';[/mm] beim nächsten Ausdruck bin ich mir
> überhaupt nicht sicher, ob man das so formulieren kann ->
> [mm]\psi_{\alpha\alpha}[/mm] = [mm]\bruch{\partial^2 \psi}{\partial t^2}*\bruch{\partial^2 t}{\partial \alpha^2}[/mm]
> = [mm]\bruch{\partial^2 \psi}{\partial t^2}*\bruch{\partial t}{\partial \alpha}* \bruch{\partial t}{\partial \alpha}[/mm]
> = [mm]g''*t^2[/mm]
>
> -> nur so komme ich auf die richtige DGL, welche
> [mm]g'*t+g''*t^2[/mm] = 0 sein muss.
>
> aber eigentlich ist ja [mm]\bruch{\partial^2 t}{\partial \alpha^2} \not= \bruch{\partial t}{\partial \alpha}* \bruch{\partial t}{\partial \alpha}[/mm]
> oder, da ja [mm]\bruch{\partial^2 t}{\partial \alpha^2}[/mm] =
> [mm]r*e^\alpha[/mm] = t und nicht [mm]t^2[/mm] ist!?
Betrachte die Funktion
[mm]\psi\left( \ r, \alpha \ \right)=\psi\left( \ t\left( \ r, \ \alpha\ \right)\ \right)[/mm]
Und differenziere sie zweimal nach r bzw. [mm]\alpha[/mm]
Wobei Du auf der rechten Seite die Kettenregel anwenden musst.
>
> Wäre sehr dankbar für jede Hilfe!
>
> Grüße
>
> Carl
Gruss
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