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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:40 Sa 13.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | (1) Die Menge M sei bezüglich der Verknüpfung [mm] \times [/mm] (soll das Verknüpfungselement sein) ein Monoid. Zeigen Sie, dass die Menge
[mm] M^{*} [/mm] := ( x [mm] \varepsilon [/mm] M |x ist invertierbar)
bezüglich [mm] \times [/mm] eine Gruppe ist.
(2) Bestimmen Sie die Elemente von [mm] M^{*} [/mm] für folgende Monoide M:
(i) [mm] \IN0 [/mm] bezüglich der Addition,
(ii) [mm] \IN0 [/mm] bezüglich der Multiplikation,
(iii) [mm] \IZ [/mm] bezüglich der Addition,
(iv) [mm] \IZ [/mm] bezüglich der Multiplikation. |
Kann mir da jemand helfen. Am besten für mich zum Lernen ist es, wenn jemand mit mir die Lösung "erarbeitet". Also dass jemand mir sagt, wie man an sowas herangeht und man dann Schritt für Schritt sowas erarbeitet. Danke an alle, die helfen können und wollen ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:54 Sa 13.11.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
Du hast sicher irgendwo eine Definition einer Gruppe. Jetzt suchst Du Dir die Definition raus, und klapperst eine Bedingung nach der anderen ab, die da gestellt wird. Wenn M alle erfüllt, dann ist es eine Gruppe.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Sa 13.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Also, mal zu (1)
Nach Definition gilt für eine Gruppe:
Eine Menge M ist dann eine Gruppe, wenn sie ein Monoid ist und jedes Element invertierbar ist.
Aber das ist doch durch die Art der Aufgabenstellung schon gegeben, weil da steht, dasss die Menge ein Monoid ist und x invertierbar ist. Oder versteh ich das falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:57 Sa 13.11.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
woher weißt Du, daß [mm] $M^\bullet$ [/mm] ein Monoid ist? M ist eines, weil es da steht, aber warum [mm] $M^\bullet$?
[/mm]
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 Sa 13.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ich dachte folgendes:
Wenn bei [mm] M^{*} [/mm] die Elemente x aus M sind, kann man dann nicht sagen, dass [mm] M^{*} [/mm] auch ein Monoid ist?
Naja, kannst du mir dann zeigen, wies richtig geht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 Sa 13.11.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
was ist denn die Definition eines Monoids?
[mm] $M^\bullet$ [/mm] ist ein Monoid, wenn es dieser Definition genügt.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:06 So 14.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ok, also:
(1) Die Verknüpfung muss assoziativ sein.
(2) Es muss ein neutrales Element existieren.
Aber was bringt mir das hier?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:31 So 14.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ok, also:
>
> (1) Die Verknüpfung muss assoziativ sein.
>
> (2) Es muss ein neutrales Element existieren.
>
> Aber was bringt mir das hier?
Du musst zeigen, dass [mm] $M^\ast$ [/mm] ein Monoid ist. Sozusagen ein Untermonoid von $M$. Und dann musst du zeigen, dass [mm] $M^\ast$ [/mm] sogar eine Gruppe ist, also dass inverse Elemente existieren.
Also fang mal an. Warum ist [mm] $(M^\ast, \times)$ [/mm] assoziativ? Und warum ist $e$, das neutrale Element von $M$, in [mm] $M^\ast$ [/mm] und ist dort ebenfalls neutrales Element? Warum ist $a [mm] \times [/mm] b [mm] \in M^\ast$, [/mm] falls $a, b [mm] \in M^\ast$ [/mm] ist?
LG Felix
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