SturmLiouville Eigenwertproble < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 Mo 15.12.2014 | | Autor: | Bushman |
| Aufgabe | Finden sie alle Eigenwerte der Gleichung: -f''(x) = [mm] \lambda [/mm] f(x) : [mm] x\in(0,\infty) [/mm]
Mit dem Randwert (oder was auch immer das genau ist ^^) f'(0) = [mm] \alpha [/mm] f(0) mit festem [mm] \alpha [/mm] < 0
Zusätzlich soll die Lösungsfunktion / Eigenfunktion [mm] \in L^2(0,\infty) [/mm] sein |
Hallo liebes Forum, ich hätte mal wieder ein Problem. Ein Ähnliches wie Sturm Liouville es seinerzeit mal hatten ^^
Das besagte Problem habe ich unter Aufgabenstellung beschrieben.
Mein Ansatz für die Lösungsfunktion ist f(x) = [mm] e^{c*x}
[/mm]
mit f'(x) = c* [mm] e^{c*x} [/mm] und f''(x) = [mm] c^2*e^{c*x}
[/mm]
Mit dieser seltsamen Randbedingung ergibt das: f'(0) = [mm] \alpha*f(0)
[/mm]
c* [mm] e^{c*0} [/mm] = [mm] \alpha* e^{c*0} [/mm] => c = [mm] \alpha
[/mm]
Eingesetzt in die Gleichung ergibt das [mm] e^{\alpha*x}*(\alpha^2+\lambda) [/mm] = 0
Da [mm] e^{\alpha*x} [/mm] keine 0 Stelle besitzt ist die Lösung der Gleichung [mm] \alpha [/mm] = [mm] \pm \wurzel{-\lambda} [/mm] = [mm] \pm [/mm] i * [mm] \wurzel{\lambda}
[/mm]
Das führt mich auf die beiden Lösungen f1(x) = [mm] e^{i*\wurzel{\lambda}*x} [/mm] und f2(x) = [mm] e^{-i*\wurzel{\lambda}*x}.
[/mm]
Nach meinen Überlegungen wäre die einzige Möglichkeit eine quadratisch Lebesgue-Integrierbare Lösungsfunktion zu erhalten [mm] \lambda [/mm] = -1 zu setzen.
Dann würde f1(x) = [mm] e^{i^2*x} [/mm] = [mm] e^{-x} [/mm] ergeben. Das Quadrat dieser Funktion ist [mm] e^{-x^2} [/mm] und von dieser Funktion weiß ich, dass sie eine [mm] L^2 [/mm] Funktion ist.
Eine andere Idee wäre die Angabe von [mm] \alpha [/mm] < 0 auszunutzen und [mm] \alpha [/mm] = -a zu setzen. Dann bekomme ich einen Lösungsansatz der Form [mm] e^{-a*x}. [/mm] Diese Lösung ist bestimmt eine [mm] L^2 [/mm] Funktion. Eingesetzt in die Gleichung ergibt das [mm] e^{-a*x}*(a^2+\lambda)=0 [/mm] => [mm] \lambda [/mm] = [mm] -a^2 [/mm] = - [mm] \alpha^2
[/mm]
Meine Frage wäre nun ob irgendetwas von meinen Überlegungen einen Sinn ergibt. Danke ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:39 Di 16.12.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
über das Quadrat von [mm] $e^{-x}$ [/mm] solltest du vielleicht noch mal nachdenken.
Jedenfalls kann man ein Fundamentalsystem der DGl leicht angeben:
[mm] $\lambda=0$: [/mm] {1,x}
[mm] $\lambda>0$: $\{\sin \sqrt{\lambda}x,\cos\sqrt{\lambda}x\}$
[/mm]
[mm] $\lambda<0$: $\{\exp(\sqrt{-\lambda}x),\exp(-\sqrt{-\lambda}x)\}$
[/mm]
Wie sieht die allgemeine Lösung in den betrachteten Fällen aus?
Benutze dann [mm] $f'(0)=\alpha [/mm] f(0)$.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:36 Di 16.12.2014 | | Autor: | fred97 |
Vielleicht sollte man mal klar sagen, worum es geht:
setzen wir [mm] $D:=\{f \in C^2([0, \infty)): f'(0)= \alpha*f(0)\}$ [/mm] , (wobei [mm] $\alpha [/mm] <0$) und definieren den Differentialoperator
$T:D [mm] \to [/mm] C([0, [mm] \infty))$ [/mm] durch $T(f):=-f''$.
Gesucht sind also die Eigenwerte [mm] \lambda [/mm] und die zugehörigen Eigenfunktionen $f [mm] \in [/mm] D [mm] \setminus\{0\}$ [/mm] von $T$.
Das bedeutet: wir kümmern uns um die Eigenwertaufgabe
$T(f)= [mm] \lambda*f$
[/mm]
Wir haben also die homogene lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeefizienten
(*) [mm] $f''+\lambda*f=0$
[/mm]
Gesucht ist also [mm] \lambda [/mm] so, dass (*) eine nichttriviale Lösung $ f [mm] \in [/mm] D$ hat .
Das char. Polynom von (*) lautet so: $ [mm] p(\mu)=\mu^2+\lambda [/mm] $
Sei [mm] \mu [/mm] eine Nullstelle von p. Dann ist [mm] f(x)=c*e^{\mu x} [/mm] für jedes c eine Lösung von (*). Da wir nichttriviale Lösungen von (*) suchen , können wir von c [mm] \ne [/mm] 0 ausgehen.
Aus $ f'(0) = [mm] \alpha [/mm] f(0)$ folgt sofort: [mm] \mu= \alpha. [/mm] Und damit:
$ [mm] \lambda=-\mu^2= [/mm] - [mm] \alpha^2$.
[/mm]
Für dieses [mm] \lambda [/mm] ist also
[mm] f(x)=c*e^{\alpha x} [/mm] ($c [mm] \ne [/mm] 0$)
eine nichttriviale Lösung der Eigenwertaufgabe.
Diese Lösungsfunktionen sind $ [mm] \in L^2(0,\infty) [/mm] $, denn
[mm] $\integral_{0}^{\infty}{e^{2*\alpha x} dx}< \infty$.
[/mm]
Überzeuge Dich davon !
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:13 Di 16.12.2014 | | Autor: | Bushman |
Danke, ich glaube ich habe es jetzt richtig.
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