(Sub-) Martingale < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [mm](X_n, \mathcal F_n)[/mm] ist ein Submartingal genau dann, wenn [mm]E1_AX_{n+1} \ \ge \ E1_AX_n[/mm] für alle [mm]A\in\mathcal F_n[/mm] |
Hallo zusammen,
hier der Beweis:
[mm]E(X_{n+1}\mid\mathcal F_n)[/mm] genau dann, wenn [mm]E1_AE(X_{n+1}\mid\mathcal F_n) \ \ge \ E1_AX_n, \ A\in\mathcal F_n[/mm]
Soweit klar.
Dann: "die linke Seite ist aber gerade [mm]E1_AX_{n+1}[/mm]"
Wieso das?
Wenn [mm]X_{n+1}[/mm] hier [mm]\mathcal F_{n}[/mm]-messbar wäre, würde das direkt folgen, aber ich sehe nicht, wieso das gelten sollte.
Es ist [mm]X_{n+1}[/mm] nach Vor. [mm]\mathcal F_{n+1}[/mm]-messbar, aber [mm]\mathcal F_n\subset \mathcal F_{n+1}[/mm]
Also ist (erstmal) nicht klar, wieso [mm]X_{n+1}[/mm] denn [mm]\mathcal F_n[/mm]-messbar sein sollte.
Kann man das begründen oder gibt es gar eine andere Erklärung für das Beweisende?
Bin für jede Hilfe dankbar.
Lieben Gruß
schachuzipus
|
|
| |
|
Hallo schachuzipus,
wie schonmal angemerkt: Klammersetzung beim Erwartungswert nicht vergessen!
Denn spätestens in diesem Beitrag wirds unklar, denn
> [mm]E1_AE(X_{n+1}\mid\mathcal F_n) [/mm]
Ist das nun [mm] $E(1_A)E(X_{n+1}\mid\mathcal F_n)$ [/mm] oder [mm] $E\left[1_AE(X_{n+1}\mid\mathcal F_n)\right]$
[/mm]
Ich vermute ja ganz stark letzteres.... aber klar ist es nicht.
> Wenn [mm]X_{n+1}[/mm] hier [mm]\mathcal F_{n}[/mm]-messbar wäre, würde das direkt folgen, aber ich sehe nicht, wieso das gelten sollte.
Tuts auch nicht, aber [mm] 1_A [/mm] ist [mm]\mathcal F_{n}[/mm]-messbar.
Hilft dir der Hinweis schon weiter? Rechenregeln für die bedingte Erwartung noch einmal anwenden => Fertig.
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
N'Abend Gono,
> Hallo schachuzipus,
>
> wie schonmal angemerkt: Klammersetzung beim Erwartungswert
> nicht vergessen!
Ist ja nicht auf meinem Mist gewachsen 
Der Prof spart gerne Tinte ...
> Denn spätestens in diesem Beitrag wirds unklar, denn
>
>
> > [mm]E1_AE(X_{n+1}\mid\mathcal F_n)[/mm]
>
> Ist das nun [mm]E(1_A)E(X_{n+1}\mid\mathcal F_n)[/mm] oder
> [mm]E\left[1_AE(X_{n+1}\mid\mathcal F_n)\right][/mm]
>
> Ich vermute ja ganz stark letzteres....
Ja!
> aber klar ist es
> nicht.
Das ganze Skript ist in diesem Stil - das schafft Klarheit in der Unklarheit ![[baeh]](/images/smileys/baeh.gif "[baeh]")
>
> > Wenn [mm]X_{n+1}[/mm] hier [mm]\mathcal F_{n}[/mm]-messbar wäre, würde das
> direkt folgen, aber ich sehe nicht, wieso das gelten
> sollte.
>
> Tuts auch nicht, aber [mm]1_A[/mm] ist [mm]\mathcal F_{n}[/mm]-messbar.
>
> Hilft dir der Hinweis schon weiter?
Ich gucke mir das morgen mal an ...
> Rechenregeln für die
> bedingte Erwartung noch einmal anwenden => Fertig.
>
> MFG,
> Gono.
Danke und Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo Gono,
> >
> > > Wenn [mm]X_{n+1}[/mm] hier [mm]\mathcal F_{n}[/mm]-messbar wäre, würde das
> > direkt folgen, aber ich sehe nicht, wieso das gelten
> > sollte.
> >
> > Tuts auch nicht, aber [mm]1_A[/mm] ist [mm]\mathcal F_{n}[/mm]-messbar.
> >
>
> > Hilft dir der Hinweis schon weiter?
Ok, außerdem ist [mm]1_AX_{n+1}[/mm] integrierbar.
Damit kann ich schreiben [mm]1_AE(X_{n+1}\mid\mathcal F_{n})=E(1_AX_{n+1}\mid\mathcal F_n)[/mm]
Dann habe ich [mm]E1_AE(X_{n+1}\mid\mathcal F_n) \ = \ E\left[E(1_AX_{n+1}\mid\mathcal F_n)\right][/mm]
Aber das hilft mir irgendwie noch (?) nicht.
Oder ist es gar kompletter Unfug?
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Aber das hilft mir irgendwie noch (?) nicht.
doch, sogar sehr.
Rechenregeln der bedingten Erwartung liefern dir dein Ergebnis, denn es gilt:
[mm] $E\left[E[Y|\mathcal{F}]\right] [/mm] = E[Y]$
Dann steht da also was?
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
Hallo Gono,
erneute vielen Dank!
> Hiho,
>
> > Aber das hilft mir irgendwie noch (?) nicht.
>
> doch, sogar sehr.
> Rechenregeln der bedingten Erwartung liefern dir dein
> Ergebnis, denn es gilt:
> [mm]E\left[E[Y|\mathcal{F}]\right] = E[Y][/mm]
Das kann ich doch nur machen, wenn [mm]Y \ \ \ \mathcal F[/mm]-messbar ist, oder nicht?
Aber das führt doch (fast) wieder zur Ausgangsfrage: warum ist [mm]1_AX_{n+1}[/mm] hier [mm]\mathcal F_n[/mm]-messbar?
[mm]1_A[/mm] ist es, aber über [mm]X_{n+1}[/mm] kann man das doch nicht sagen ?!
>
> Dann steht da also was?
Das Ergebnis ...
>
> MFG,
> Gono.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hiho,
> > Rechenregeln der bedingten Erwartung liefern dir dein
> > Ergebnis, denn es gilt:
> > [mm]E\left[E[Y|\mathcal{F}]\right] = E[Y][/mm]
>
> Das kann ich doch nur machen, wenn [mm]Y \ \ \ \mathcal F[/mm]-messbar ist, oder nicht?
Nein, das gilt immer. Beachte den zweiten Erwartungswert!
Für Zufallsvariablen, die unabhängig von [mm] \mathcal{F} [/mm] sind, gilt
[mm] $E[Y|\mathcal{F}] [/mm] = E[Y]$
Die Gleichung:
[mm] $E[E[Y|\mathcal{F}]] [/mm] = E[Y]$ gilt für [mm] $Y\in\mathcal{L}^1$ [/mm] immer.
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
Hallo Gono,
> Hiho,
>
> > > Rechenregeln der bedingten Erwartung liefern dir dein
> > > Ergebnis, denn es gilt:
> > > [mm]E\left[E[Y|\mathcal{F}]\right] = E[Y][/mm]
> >
> > Das kann ich doch nur machen, wenn [mm]Y \ \ \ \mathcal F[/mm]-messbar
> ist, oder nicht?
>
> Nein, das gilt immer. Beachte den zweiten Erwartungswert!
> Für Zufallsvariablen, die unabhängig von [mm]\mathcal{F}[/mm]
> sind, gilt
>
> [mm]E[Y|\mathcal{F}] = E[Y][/mm]
>
> Die Gleichung:
>
> [mm]E[E[Y|\mathcal{F}]] = E[Y][/mm] gilt für [mm]Y\in\mathcal{L}^1[/mm]
> immer.
Super, dankesehr.
Nur gut, dass dies im Skript nicht erwähnt ist ...
> MFG,
> Gono.
Bis dann!
schachuzipus
|
|
|
|
