Subst. m. Polarkoordinaten < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \frac{dy}{dx}=\frac{y(y^2-x^2-1)}{x(y^2-x^2+1)} [/mm] |
Hallo,
diese Aufgabe soll mit den Substitutionen
[mm] $y=r*sin(\phi)$
[/mm]
[mm] $x=r*cos(\phi)$
[/mm]
gelöst werden.
Jetzt habe ich aber schon Schwierigkeiten damit, y' zu ersetzen (hab ich noch nie bei DGL gemacht).
[mm] $dy=r*cos(\phi)*d\phi$
[/mm]
[mm] $dx=-r*sin(\phi)*d\phi$
[/mm]
[mm] \frac{dy}{dx}=-cot(\phi)
[/mm]
kann es ja nicht sein.
Irgendwie müsste es ja [mm] \frac{d\phi}{dr} [/mm] oder [mm] \frac{dr}{d\phi} [/mm] sein (?).
Vielen Dank für einen Hinweis.
LG, Martinius
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Hallo Martinius,
> [mm]\frac{dy}{dx}=\frac{y(y^2-x^2-1)}{x(y^2-x^2+1)}[/mm]
> Hallo,
>
> diese Aufgabe soll mit den Substitutionen
>
> [mm]y=r*sin(\phi)[/mm]
>
> [mm]x=r*cos(\phi)[/mm]
>
> gelöst werden.
>
> Jetzt habe ich aber schon Schwierigkeiten damit, y' zu
> ersetzen (hab ich noch nie bei DGL gemacht).
>
> [mm]dy=r*cos(\phi)*d\phi[/mm]
>
> [mm]dx=-r*sin(\phi)*d\phi[/mm]
>
> [mm]\frac{dy}{dx}=-cot(\phi)[/mm]
>
> kann es ja nicht sein.
>
> Irgendwie müsste es ja [mm]\frac{d\phi}{dr}[/mm] oder
> [mm]\frac{dr}{d\phi}[/mm] sein (?).
>
Nun, da brauchst Du wohl die Substitutionen:
[mm]y=r\left(\phi\right)*sin(\phi)[/mm]
[mm]x=r\left(\phi\right)*cos(\phi)[/mm]
Um die Ableitung zu ermitteln, betrachte
[mm]y\left( \ x \left(\phi\right) \ \right)=y\left(\phi\right)[/mm]
Dann ist
[mm]y'=\bruch{dy}{dx}=\bruch{\dot{y}}{\dot{x}}[/mm]
> Vielen Dank für einen Hinweis.
>
> LG, Martinius
>
Gruß
MathePower
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| Aufgabe | Show that
[mm] $\frac{dy}{dx}=\frac{y(y^2-x^2-1)}{x(y^2-x^2+1)}$
[/mm]
can be solved by transforming to polar coordinatesr, [mm] \phi, [/mm] where [mm] x=rcos\phi [/mm] , [mm] y=rsin\phi. [/mm] Hence, determine its solution. |
Hallo MathePower,
ich habe noch einmal den originalen Aufgabentext hier hinein geschrieben. Dass [mm] r=r(\phi) [/mm] sein soll, kann man das dem Aufgabentext entnehmen?
Ich hab' dann mal probiert:
[mm] $\dot x=\dot [/mm] r [mm] cos(\phi)-rsin(\phi)$
[/mm]
[mm] $\dot y=\dot [/mm] r [mm] sin(\phi)+rcos(\phi)$
[/mm]
[mm] $y'(x)=\frac{\dot y}{\dot x}=\frac{\dot r sin(\phi)+rcos(\phi)}{\dot r cos(\phi)-rsin(\phi)}=\frac{rcos(\phi)*(r^2sin^2(\phi)-r^2cos^2(\phi)-1)}{rsin(\phi)*(r^2sin^2(\phi)-r^2cos^2(\phi)+1)}$
[/mm]
[mm] $(\dot [/mm] r [mm] sin(\phi)+rcos(\phi))*(r^3sin^3(\phi)-r^3sin(\phi)cos^2(\phi)+rsin(\phi))=(\dot [/mm] r [mm] cos(\phi)-rsin(\phi))*(r^3sin^2(\phi)cos(\phi)-r^3cos^3(\phi)-rcos(\phi)))$
[/mm]
[mm] $\dot [/mm] r [mm] *r^3*sin^4(\phi)-\dot r*r^3*sin^2(\phi)cos^2(\phi)+\dot [/mm] r [mm] *r^3*sin^2(\phi)+ r^4*sin^3(\phi)*cos(\phi)-r^4*sin(\phi)*cos^3(\phi)+r^2*sin(\phi)*cos(\phi)=\dot r*r^3*sin^2(\phi)cos^2(\phi)-\dot [/mm] r [mm] r^3cos^4(\phi)-\dot [/mm] r [mm] rcos^2(\phi)-r^4*sin^3(\phi)*cos(\phi)+r^4*sin(\phi)*cos^3(\phi)+r^2sin(\phi)*cos(\phi)$
[/mm]
[mm] $0=2*r^4*sin(\phi)*cos^3(\phi)-2*r^4*sin^3*(\phi)*cos(\phi)- \dot [/mm] r* r [mm] -\dot [/mm] r [mm] *r^3*(sin^4(\phi)+cos^4(\phi))+2*\dot [/mm] r* [mm] r^3*sin^2(\phi)*cos^2(\phi) [/mm] $
[mm] $\dot [/mm] r [mm] =\frac{2*sin(\phi)*cos(\phi)*r^4*[cos^2(\phi)-sin^2(\phi)]}{r+r^3*[cos^2(\phi)-sin^2(\phi)]^2}$
[/mm]
War das so gedacht? Wahrscheinlich habe ich mich verrechnet.
Danke fürs Drüberschauen.
LG, Martinius
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Hallo Martinius,
> Show that
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> [mm]\frac{dy}{dx}=\frac{y(y^2-x^2-1)}{x(y^2-x^2+1)}[/mm]
>
> can be solved by transforming to polar coordinatesr, [mm]\phi,[/mm]
> where [mm]x=rcos\phi[/mm] , [mm]y=rsin\phi.[/mm] Hence, determine its
> solution.
> Hallo MathePower,
>
> ich habe noch einmal den originalen Aufgabentext hier
> hinein geschrieben. Dass [mm]r=r(\phi)[/mm] sein soll, kann man das
> dem Aufgabentext entnehmen?
>
>
> Ich hab' dann mal probiert:
>
> [mm]\dot x=\dot r cos(\phi)-rsin(\phi)[/mm]
>
> [mm]\dot y=\dot r sin(\phi)+rcos(\phi)[/mm]
>
>
> [mm]y'(x)=\frac{\dot y}{\dot x}=\frac{\dot r sin(\phi)+rcos(\phi)}{\dot r cos(\phi)-rsin(\phi)}=\frac{r cos(\phi)*(r^2sin^2(\phi)-r^2cos^2(\phi)-1)}{rsin(\phi)*(r^2sin^2(\phi)-r^2cos^2(\phi)+1)}[/mm]
Hier muss es doch
[mm]y'(x)=\frac{\dot y}{\dot x}=\frac{\dot r sin(\phi)+rcos(\phi)}{\dot r cos(\phi)-rsin(\phi)}=\frac{r \ \red{\sin\left(\phi\right)}*(r^2sin^2(\phi)-r^2cos^2(\phi)-1)}{r \ \red{\cos\left(\phi\right)}*(r^2sin^2(\phi)-r^2cos^2(\phi)+1)}[/mm]
heißen.
>
>
> [mm](\dot r sin(\phi)+rcos(\phi))*(r^3sin^3(\phi)-r^3sin(\phi)cos^2(\phi)+rsin(\phi))=(\dot r cos(\phi)-rsin(\phi))*(r^3sin^2(\phi)cos(\phi)-r^3cos^3(\phi)-rcos(\phi)))[/mm]
>
> [mm]\dot r *r^3*sin^4(\phi)-\dot r*r^3*sin^2(\phi)cos^2(\phi)+\dot r *r^3*sin^2(\phi)+ r^4*sin^3(\phi)*cos(\phi)-r^4*sin(\phi)*cos^3(\phi)+r^2*sin(\phi)*cos(\phi)=\dot r*r^3*sin^2(\phi)cos^2(\phi)-\dot r r^3cos^4(\phi)-\dot r rcos^2(\phi)-r^4*sin^3(\phi)*cos(\phi)+r^4*sin(\phi)*cos^3(\phi)+r^2sin(\phi)*cos(\phi)[/mm]
>
>
> [mm]0=2*r^4*sin(\phi)*cos^3(\phi)-2*r^4*sin^3*(\phi)*cos(\phi)- \dot r* r -\dot r *r^3*(sin^4(\phi)+cos^4(\phi))+2*\dot r* r^3*sin^2(\phi)*cos^2(\phi)[/mm]
>
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>
> [mm]\dot r =\frac{2*sin(\phi)*cos(\phi)*r^4*[cos^2(\phi)-sin^2(\phi)]}{r+r^3*[cos^2(\phi)-sin^2(\phi)]^2}[/mm]
>
>
> War das so gedacht? Wahrscheinlich habe ich mich
> verrechnet.
>
> Danke fürs Drüberschauen.
>
> LG, Martinius
Gruß
MathePower
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Hallo MathePower,
habe Dank für deine Korrektur.
Ich habe noch einen Versuch gewagt:
$ [mm] y'(x)=\frac{\dot y}{\dot x}=\frac{\dot r sin(\phi)+rcos(\phi)}{\dot r cos(\phi)-rsin(\phi)}=\frac{r \ \sin\left(\phi\right)\cdot{}(r^2sin^2(\phi)-r^2cos^2(\phi)-1)}{r \ \cos\left(\phi\right)\cdot{}(r^2sin^2(\phi)-r^2cos^2(\phi)+1)} [/mm] $
[mm] $(\dot [/mm] r [mm] sin(\phi)+rcos(\phi))*(r [/mm] \ [mm] \cos\left(\phi\right)\cdot{}(r^2sin^2(\phi)-r^2cos^2(\phi)+1))=(\dot [/mm] r [mm] cos(\phi)-rsin(\phi))*(r [/mm] \ [mm] \sin\left(\phi\right)\cdot{}(r^2sin^2(\phi)-r^2cos^2(\phi)-1))$
[/mm]
[mm] $\dot [/mm] r [mm] r^3sin^3(\phi)cos(\phi)-\dot [/mm] r [mm] r^3sin(\phi)cos^3(\phi)+\dot [/mm] r r [mm] sin(\phi)cos(\phi)+r^4sin^2(\phi)cos^2(\phi)-r^4cos^4(\phi)+r^2cos^2(\phi)=\dot [/mm] r [mm] r^3sin^3(\phi)cos(\phi)-\dot [/mm] r [mm] r^3sin(\phi)cos^3(\phi)-\dot [/mm] r r [mm] sin(\phi)cos(\phi)+r^4sin^2(\phi)cos^2(\phi)-r^4sin(\phi)+r^2sin^2(\phi)$
[/mm]
[mm] $0=-2\dot [/mm] r r [mm] sin(\phi)cos(\phi)-r^4(sin^4(\phi)-cos^4(\phi))+r^2(sin^2(\phi)-cos^2(\phi))$
[/mm]
[mm] $2\dot [/mm] r r [mm] sin(\phi)cos(\phi)=r^2(sin^2(\phi)-cos^2(\phi))*(1-r^2(sin^2(\phi)+cos^2(\phi)))$
[/mm]
[mm] $\dot [/mm] r = [mm] \frac{(sin^2(\phi)-cos^2(\phi))*(r-r^3)}{2sin(\phi)cos(\phi)}$
[/mm]
[mm] $\int\left( \frac{1}{r}-\frac{1}{2} *\frac{1}{1-3} -\frac{1}{2} *\frac{1}{1+r} \right)\;dr=\frac{1}{2}* \int tan(\phi)-cot(\phi)) \;d\phi$
[/mm]
[mm] $ln|r|+\frac{1}{2}*ln|1-r|-\frac{1}{2}*ln|1+r|=-\frac{1}{2}*ln|cos(\phi)|-\frac{1}{2}*ln|sin(\phi)|+C'$
[/mm]
[mm] $\frac{r^2(1-r)}{1+r}=C*\frac{1}{sin(\phi)cos(\phi)}$
[/mm]
[mm] $C_1r^2sin(\phi)cos(\phi)=\frac{1+r}{1-r}$
[/mm]
Die linke Seite des Terms stimmt ja schon einmal: Cxy.
Aber die rechte: sollte sein [mm] 1-x^2-y^2
[/mm]
Seufz. Wahrscheinlich wieder ein Rechenfehler.
Besten Dank für eine Korrektur.
LG, Martinius
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Hallo Martinus,
> Hallo MathePower,
>
> habe Dank für deine Korrektur.
>
> Ich habe noch einen Versuch gewagt:
>
> [mm]y'(x)=\frac{\dot y}{\dot x}=\frac{\dot r sin(\phi)+rcos(\phi)}{\dot r cos(\phi)-rsin(\phi)}=\frac{r \ \sin\left(\phi\right)\cdot{}(r^2sin^2(\phi)-r^2cos^2(\phi)-1)}{r \ \cos\left(\phi\right)\cdot{}(r^2sin^2(\phi)-r^2cos^2(\phi)+1)}[/mm]
>
> [mm](\dot r sin(\phi)+rcos(\phi))*(r \ \cos\left(\phi\right)\cdot{}(r^2sin^2(\phi)-r^2cos^2(\phi)+1))=(\dot r cos(\phi)-rsin(\phi))*(r \ \sin\left(\phi\right)\cdot{}(r^2sin^2(\phi)-r^2cos^2(\phi)-1))[/mm]
>
> [mm]\dot r r^3sin^3(\phi)cos(\phi)-\dot r r^3sin(\phi)cos^3(\phi)+\dot r r sin(\phi)cos(\phi)+r^4sin^2(\phi)cos^2(\phi)-r^4cos^4(\phi)+r^2cos^2(\phi)=\dot r r^3sin^3(\phi)cos(\phi)-\dot r r^3sin(\phi)cos^3(\phi)-\dot r r sin(\phi)cos(\phi)+r^4sin^2(\phi)cos^2(\phi)-r^4sin(\phi)+r^2sin^2(\phi)[/mm]
Hier muss es doch heißen:
[mm]\ ... \ =\dot r r^3sin^3(\phi)cos(\phi)-\dot r r^3sin(\phi)cos^3(\phi)-\dot r r sin(\phi)cos(\phi)+r^4sin^2(\phi)cos^2(\phi)-r^4sin^{\red{4}}(\phi)+r^2sin^2(\phi)[/mm]
>
> [mm]0=-2\dot r r sin(\phi)cos(\phi)-r^4(sin^4(\phi)-cos^4(\phi))+r^2(sin^2(\phi)-cos^2(\phi))[/mm]
>
> [mm]2\dot r r sin(\phi)cos(\phi)=r^2(sin^2(\phi)-cos^2(\phi))*(1-r^2(sin^2(\phi)+cos^2(\phi)))[/mm]
>
> [mm]\dot r = \frac{(sin^2(\phi)-cos^2(\phi))*(r-r^3)}{2sin(\phi)cos(\phi)}[/mm]
>
> [mm]\int\left( \frac{1}{r}-\frac{1}{2} *\frac{1}{1-3} -\frac{1}{2} *\frac{1}{1+r} \right)\;dr=\frac{1}{2}* \int tan(\phi)-cot(\phi)) \;d\phi[/mm]
>
> [mm]ln|r|+\frac{1}{2}*ln|1-r|-\frac{1}{2}*ln|1+r|=-\frac{1}{2}*ln|cos(\phi)|-\frac{1}{2}*ln|sin(\phi)|+C'[/mm]
>
> [mm]\frac{r^2(1-r)}{1+r}=C*\frac{1}{sin(\phi)cos(\phi)}[/mm]
>
> [mm]C_1r^2sin(\phi)cos(\phi)=\frac{1+r}{1-r}[/mm]
>
> Die linke Seite des Terms stimmt ja schon einmal: Cxy.
>
> Aber die rechte: sollte sein [mm]1-x^2-y^2[/mm]
>
> Seufz. Wahrscheinlich wieder ein Rechenfehler.
>
> Besten Dank für eine Korrektur.
>
> LG, Martinius
>
>
Gruß
MathePower
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Hallo MathePower,
vielen Dank für deine Geduld.
Die fehlende 4. Potenz war nur ein Tippfehler von mir. In der nächsten Zeile ist sie wieder da.
LG, Martinius
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Hallo Martinius,
> Hallo MathePower,
>
> vielen Dank für deine Geduld.
>
> Die fehlende 4. Potenz war nur ein Tippfehler von mir. In
> der nächsten Zeile ist sie wieder da.
Der Fehler liegt wohl in der PBZ von [mm]\bruch{1}{r-r^{3}}[/mm]:
[mm]\bruch{1}{r-r^{3}}=\bruch{1}{r}-\bruch{1}{2}*\bruch{1}{r-1}-\bruch{1}{2}*\bruch{1}{r+1}[/mm]
>
> LG, Martinius
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:38 Di 21.04.2009 | | Autor: | Martinius |
Hallo MathePower,
ja, da lag mein Fehler. Vielen Dank für deine Mühwaltung!
LG, Martinius
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