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Substitution: gibt es einfacheren Weg ?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:04 Sa 22.04.2006
Autor: BeniMuller

Aufgabe
[mm] $x^{\lg x} [/mm] \ = \ x * [mm] 10^{12}$ [/mm]

*nis rumgepostet*

Ich bitte eine hilfreiche Seele, meine Lösung zu prüfen und einfachere Alternativen zu verraten.

Substitution:

$a \ = \ [mm] \lg [/mm] x \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ \ [mm] 10^{a} [/mm] \ = \ x$

[mm] $(10^{a})^\lg 10^{a}$ [/mm] $ \ = \ [mm] 10^{a} [/mm] \ * \ [mm] 10^{12}$ [/mm]

[mm] $10^{a*\lg 10^{a}} [/mm] \ = \ [mm] 10^{a+12}$ [/mm]

Exponenten gleichsetzen:

$a \ * \ [mm] \lg 10^{a} [/mm]  \ = \ a \ + \ 12$

[mm] $a^{2} [/mm]  \  * \ [mm] \lg [/mm] 10 \ = \ a \ + \ 12$

und da [mm] $\lg [/mm] 10 \ = \ 1$:

[mm] $a^{2}\ [/mm] = \ a \ + \ 12$

[mm] $a^{2} [/mm] \ - \ a \ - \ 12 \ = \ 0$

mittels p/q-Formel:

[mm] $a_{1} [/mm] \ = \ -3$

[mm] $a_{2} [/mm] \ = \ 4$

in Substitution [mm] $10^{a} [/mm] \ = \ x $ einsetzen

für [mm] $a_{1} [/mm] \ = \ -3$

[mm] $10^{a} [/mm] \ = \ [mm] 10^{-3} [/mm] \ = \ [mm] x_{1} [/mm]  \ = \ 0.001$

für [mm] $a_{2} [/mm] \ = \ 4$

[mm] $10^{a} [/mm] \ = \ [mm] 10^{4} [/mm] \ = \ [mm] x_{2} [/mm]  \ = \ 10000$


Grüsse aus dem sonnigen Zürich, wo am Montag der Winter öffentliche verbrannt wird.






        
Bezug
Substitution: Alternativweg
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:07 Sa 22.04.2006
Autor: Loddar

Hallo Beni!


Deine Lösungen habe ich auch erhalten. [daumenhoch]
Und wieder einmal hier mal eine Alternativlösung meinerseits ;-) :

Wende auf beiden Seiten der Gleichung den dakadischen Logarithmus [mm] $\lg(...)$ [/mm] an:


[mm] $\lg\left[x^{\lg(x)}\right] [/mm] \ = \ [mm] \lg\left(x*10^{12}\right)$ [/mm]


Nun MBLogarithmusgesetze:

[mm] $\lg(x)*\lg(x) [/mm] \ = \ [mm] \lg(x)+\lg\left(10^{12}\right)$ [/mm]

[mm] $\lg^2(x) [/mm] \ = \ [mm] \lg(x)+12$ [/mm]


Nun Substitution  $u \ := \ [mm] \lg(x)$ $\gdw$ [/mm]   $x \ = \ [mm] 10^u$ [/mm]   und weiter mit p/q-Formel ...


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Substitution: Dank für 2. Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:32 Sa 22.04.2006
Autor: BeniMuller

Hallo Loddar

Ich habe schon fest damit gerechnet, dass Du wieder einen Alternativweg findest.

Besten Dank und herzliche Grüsse aus Zürich

Bezug
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