Substitution < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:09 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Engel205 |
Hallo alle zusammen!
Kann mir vielleicht jemand die Substitution an folgendem Beispiel erklären:
[mm] \integral_{0}^{1}{\wurzel{1-x²} dx}
[/mm]
Wäre lieb!
MFG
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:18 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Engel!
Hier wird folgendermaßen substituiert: $u \ = \ [mm] \arcsin(x)$ $\gdw$ [/mm] $x \ := \ [mm] \sin(u)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $x' \ = \ [mm] \bruch{dx}{du} [/mm] \ = \ [mm] \cos(u)$ $\gdw$ [/mm] $dx \ = \ [mm] \cos(u)*du$
[/mm]
In das (unbestimmte) Integral eingesetzt ergibt sich dann ... zudem wird hier noch der trigonometrische Pythagoras [mm] $\sin^2(u)+\cos^2(u) [/mm] \ = \ 1$ verwendet:
[mm] $\integral{\wurzel{1-\red{x}^2} \ \blue{dx}} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\wurzel{1-[\red{\sin(u)}]^2} \ \blue{\cos(u)*du}} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\wurzel{\cos^2(u)} \ \cos(u)*du} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\cos(u)*\cos(u) \ du} [/mm] \ = \ ...$
Nun geht es hier weiter mit partieller Integration ...
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Engel205 |
Hä aber wenn ich jetzt partielle Integration mache kommt bei mir wieder was raus, dass ich integrieren muss und so geht das immer weiter....
Was mache ich denn da jetzt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Engel!
Ich nehme mal an, Du erhältst dann u.a. das Integral [mm] $\integral{\sin^2(x) \ dx}$ [/mm] ...
Das kannst Du doch ersetzen durch [mm] $\integral{1-\cos^2(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{dx}-\integral{\cos^2(x) \ dx}$ [/mm] und anschließend nach [mm] $\integral{\cos^2(x) \ dx} [/mm] \ = \ ...$ umstellen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Engel205 |
Genau also ich erhalte vorne den Teil und dann + [mm] \integral_{0}^{1}{sin²(x) dx}.... [/mm] so und dann soll ich dafür den trigonometrischen Pythagoras einsetzten und nochmal partiell integrieren oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Engel205 |
Also ich habe nach der partiellen Integration und dem Pythagoras folgendes stehen:
[mm] \integral_{0}^{1}{cos²(u) du} [/mm] = cos(u)sin(u) (in den Grenzen von 0 bis 1) + [mm] \integral_{0}^{1}{1-cos²(u) du}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Engel!
> [mm]\integral_{0}^{1}{cos²(u) du}[/mm] = cos(u)sin(u) (in den
> Grenzen von 0 bis 1) + [mm]\integral_{0}^{1}{1-cos²(u) du}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Soweit richtig. Zerlege nun das letzte Integral:
[mm] $\red{\integral{\cos^2(u) du}} [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ \cos(u)*\sin(u) \ \right] +\integral{1 \ dx}-\red{\integral{\cos^2(u) du}}$
[/mm]
Und stellen wir nach [mm] $\integral{\cos^2(u) du}$ [/mm] um, indem wir auf beiden Seiten [mm] $\red{+} [/mm] \ [mm] \integral{\cos^2(u) du}$ [/mm] rechnen:
[mm] $\red{2*}\integral{\cos^2(u) du} [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ \cos(u)*\sin(u) \ \right] +\integral{1 \ du} [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ \cos(u)*\sin(u) \ \right] [/mm] + [mm] \left[ \ u \ \right] [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ \cos(u)*\sin(u)+u \ \right]$
[/mm]
Nun also noch durch $2_$ teilen berechnen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Engel205 |
Könnte folgendes das Ergebnis sein?
[mm] \bruch{cos(1)sin(1)+1}{2}
[/mm]
Aber ich sollte doch folgendes berechnen:
[mm] \integral_{0}^{1}{\wurzel{1-x²} dx}
[/mm]
Stimmt das dann jetzt so?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:37 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Engel!
Siehe hier den Hinweis mit den Integrationsgrenzen.
Und das Ergebnis kannst Du hier am Ende auch selber kontrollieren, da mit dem Ausgangsintegral [mm]\integral_{0}^{1}{\wurzel{1-x²} dx}[/mm] der Flächeninhalt eines Viertelkreise mit dem Radius $r \ = \ 1$ berechnet wird.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Engel205 |
Also stimmt mein ERgebnis nicht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:51 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Engel!
Richtig erkannt: Dein Ergebnis stimmt so nicht!
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Engel205 |
Also muss ich erst noch zurück substituieren?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Engel!
Wenn Du mit den ursprünglichen Grenzen [mm] $x_1 [/mm] \ = \ 0$ und [mm] $x_2 [/mm] \ = \ 1$ rechnen willst, musst Du erst resubstituieren.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 So 13.05.2007 | | Autor: | Engel205 |
Kommt dann zufällig eins raus?
WEil das wäre dann mein Ergebnis wenn ich die Grenzen einsetze!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:10 So 13.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Engel!
Ich erhalte hier: [mm] $\integral_0^1{\wurzel{1-x^2} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 0.785$
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 So 13.05.2007 | | Autor: | Engel205 |
Was hast du denn raus wenn du zurüch substituierst? Wahrscheinlich hab ich das falsch gemacht....
Bei mir kam nämlich [mm] \bruch{2x}{2} [/mm] raus und daher hab ich als Ergebnis 1!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 So 13.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Engel!
Wir hatten ja als Zwischenergebnis:
[mm] $\integral{\wurzel{1-x^2} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\cos(u)*\sin(u)+u}{2}$
[/mm]
Nun resubstituieren mit $u \ := \ [mm] \arcsin(x)$ [/mm] :
$... \ = \ [mm] \bruch{\cos[\arcsin(x)]*\sin[\arcsin(x)]+\arcsin(x)}{2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\wurzel{1-\sin^2[\arcsin(x)]}*x+\arcsin(x)}{2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\wurzel{1-x^2}*x+\arcsin(x)}{2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*x*\wurzel{1-x^2}+\bruch{1}{2}*\arcsin(x)$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:34 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Engel1
Bitte aufpassen bei Substitutionsaufgaben. Entweder Du löst das gesamte Integral als unbestimmtes Integral und resubstituierst am ende. Dann kannst Du mit den alten Grenzen (hier: $0_$ und $1_$) rechnen.
Oder Du musst auch mit der Substitution (hier: $u \ := \ [mm] \arcsin(x)$ [/mm] ) die beiden Grenzen in "$u_$-Grenzen" umrechnen:
$u(0) \ = \ [mm] \arcsin(0) [/mm] \ = \ 0$
$u(1) \ = \ [mm] \arcsin(1) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\pi}{2}$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
|
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Nein. Du hast doch nun eine gleichung, wo auf der linken Seite [mm] $\integral{\cos^2(x)}$ [/mm] steht und rechts ein [mm] $-\integral{\cos^2(x)}$ [/mm] .
