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Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:28 Mi 26.03.2008
Autor: naima-thalia

Aufgabe
[mm] \bruch{4x}{x^2+1} [/mm]

Hallo!
Ich möchte die Stammfunktion ermitteln.
Dazu substituiere ich und setze
z= [mm] x^2+1 [/mm]
dz=2x

Leider weiß ich nun nicht weiter.
Wer kann mir da einen Tipp geben bzw. mir
erklären, wie man bei solchen Aufgaben weiter
vorgeht?

        
Bezug
Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:55 Mi 26.03.2008
Autor: abakus


> [mm]\bruch{4x}{x^2+1}[/mm]
>  Hallo!
>  Ich möchte die Stammfunktion ermitteln.
>  Dazu substituiere ich und setze
>  z= [mm]x^2+1[/mm]
>  dz=2x

Hallo, das stimmt nicht ganz.
Aus  z= [mm]x^2+1[/mm] folgt z'=2x.
Eine andere Schreibweise für z' ist [mm] \bruch{dz}{dx}. [/mm]
Wir stellen [mm] \bruch{dz}{dx}=2x [/mm] formal nach dx um:
[mm] dx=\bruch{dz}{2x} [/mm]


jetzt einfach einsetzen:

[mm] \integral_{}^{}{\bruch{4x}{x^2+1} dx}=\integral_{}^{}{\bruch{4x}{z}*\bruch{dz}{2x}} [/mm]

Nach dem Kürzen von 2x bleibt
[mm] ...=\integral_{}^{}{\bruch{2dz}{z}}, [/mm] und das ist [mm] 2*\ln{|z|}+c. [/mm]
Rücksubstitution nicht vergessen!

Gruß
Abakus


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