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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Substitution
Substitution < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:01 Mo 30.06.2008
Autor: bore

Aufgabe
[mm] x^2y'=(1/4x^2)+y^2 [/mm]

Substitutuion u=y/x -> y=xu -> y'=u+xu'

[mm] x^2(u+xu')=1/4x^2+(xu)^2 [/mm]

Stimmt dies soweit?
Nun muss ich durch Trennung der Variabeln Integrieren, stimmts?
[mm] \integral u+du/(u^2*u)=dx/(4x^2x^3)+x^2+2x [/mm]


        
Bezug
Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:43 Mo 30.06.2008
Autor: leduart

Hallo
Ich kann nicht sehen, wie du auf deine letze Formel kommst. ich seh auch nicht, wie die Substitution die Dgl verbessert und Trennun g der variablen möglich macht.
Dein eletzt Formel mit [mm] \integral [/mm] u ist unverständlich!
Gruss leduart

Bezug
                
Bezug
Substitution: Nächster Versuch
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:49 Mo 30.06.2008
Autor: bore

Aufgabe
[mm] x^2y'=1/4x^2+y^2 [/mm]

Ok, dachte es mir beinahe dass man nicht schlau darazs wird.

[mm] x^2y'=1/4x^2+y^2 [/mm]    
Substitution: u=y/x; -> y=xu; -> y'=u+xu'=u+x(du/dx)
[mm] x^2(u+x(du/dx))=1/4x^2+y^2 [/mm]
y=xu
[mm] x^2(u+x(du/dx))=1/4x^2+(xu)^2 [/mm]

Ist das bis hierhin der Richtige Weg?

Nun folgt vereinfachen und integrieren richtig?

Gruss
  



Bezug
                        
Bezug
Substitution: soweit richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:02 Mo 30.06.2008
Autor: Loddar

Hallo bore!


Soweit sieht es gut aus ... ob dieser Weg aber wirklich zum Ziel führt, habe ich nun nicht kontrolliert.

Nichtsdestotrotz: try & error.


Gruß
Loddar


Bezug
                        
Bezug
Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:25 Di 01.07.2008
Autor: leduart

Hallo
Wenn man die neue DGL so einfach vereinfachen und integrieren könnte  wär das richtig.
Aber nur DGl der Form y'=f(y)*g(x) kann man durch Trennung der Variablen einfach lösen. und die erreichst du durch die Substitution nicht:
Gruss leduart

Bezug
                                
Bezug
Substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:52 Di 01.07.2008
Autor: Martinius

Hallo,

die Substitution funktioniert hier doch (?).

[mm] $x^2*y'=\bruch{1}{4}*x^2+y^2$ [/mm]

[mm] $y'=\bruch{1}{4}+\bruch{y^2}{x^2}$ [/mm]

[mm] u(x)=\bruch{y}{x} [/mm]

$y=u(x)*x$

$y'=u'(x)*x+u(x)$

[mm] $u'(x)*x+u(x)=\bruch{1}{4}+u^2(x)$ [/mm]

[mm] $u'*x=\bruch{4u^2-4u+1}{4}$ [/mm]

[mm] $\integral \bruch{1}{4u^2-4u+1} \;dy =\bruch{1}{4}*\integral \bruch{1}{x}\;dx$ [/mm]

[mm] $\bruch{1}{4}*\integral \bruch{1}{(u-\bruch{1}{2})^2} \;dy =\bruch{1}{4}*\integral \bruch{1}{x}\;dx$ [/mm]

[mm] $-\bruch{1}{u-\bruch{1}{2}}=ln|x|+C$ [/mm]

[mm] $u=\bruch{1}{2}-\bruch{1}{ln|x|+C}$ [/mm]

[mm] $y=\bruch{x}{2}-\bruch{x}{ln|x|+C}$ [/mm]


So ich mich nicht verrechnet habe.


LG, Martinius





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