Substitution < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:23 Fr 29.05.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Integration von [mm] \int_{}^{} \bruch{2-x}{1+\wurzel{x}}\, [/mm] dx durch Substitution.
Tipp: u = [mm] 1+\wurzel{x} [/mm] |
Hallo Zusammen,
als erste habe ich den Bruch umgeschrieben:
[mm] \int_{}^{} \bruch{2-x}{1+\wurzel{x}}\, [/mm] dx = 2 [mm] \cdot{} \int_{}^{} \bruch{1}{1+\wurzel{x}}\, [/mm] dx - [mm] \int_{}^{} \bruch{x}{1+\wurzel{x}}\, [/mm] dx
dann substituiert:
u = [mm] 1+\wurzel{x}
[/mm]
[mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\wurzel{x}} [/mm] -> dx = [mm] 2\wurzel{x} [/mm] du
= 2 [mm] \cdot{} \int_{}^{} \bruch{2\wurzel{x}}{u}\, [/mm] du - [mm] \int_{}^{} \bruch{2\wurzel{x} \cdot{} x}{u}\, [/mm] du
= 4 [mm] \cdot{} \int_{}^{} \bruch{x^{\bruch{1}{2}}}{u}\, [/mm] du - 2 [mm] \int_{}^{} \bruch{x^{\bruch{3}{2}}}{u}\, [/mm] du
Ab hier komme ich jedoch nicht mehr weiter.
Muss man nochmals substituieren? Oder habe ich die Umformung ungeschickt vorgenommen?
Gruß
itse
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Hallo itse!
Zwei Tipps ...
Zum einen kannst Du auch umformen zu: [mm] $\wurzel{x} [/mm] \ = \ u-1$ .
Zum anderen bietet sich auch folgende Umformung an:
[mm] $$\bruch{2-x}{1+\wurzel{x}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1+1-x}{1+\wurzel{x}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1+\wurzel{x}}+\bruch{1-x}{1+\wurzel{x}}$$
[/mm]
Beim 1. Bruch nun die genannte Substitution durchführen.
Beim 2. Bruch kann man im zähler eine binomische Formel anwenden und anschließend kürzen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Fr 29.05.2009 | | Autor: | itse |
Hallo Roadrunner,
> Zwei Tipps ...
>
> Zum einen kannst Du auch umformen zu: [mm]\wurzel{x} \ = \ u-1[/mm]
wie sieht dann die Mitsubstitution der Integrationskonstanten aus?
Soll ich dann x = u²-2u+1
[mm] \bruch{dx}{du} [/mm] = 2u-2 -> dx = 2u-2 du
$ [mm] \int_{}^{} \bruch{2-(u²-2u+1)(2u-2)}{1+u-1}\, [/mm] $ du
> Zum anderen bietet sich auch folgende Umformung an:
> [mm]\bruch{2-x}{1+\wurzel{x}} \ = \ \bruch{1+1-x}{1+\wurzel{x}} \ = \ \bruch{1}{1+\wurzel{x}}+\bruch{1-x}{1+\wurzel{x}}[/mm]
> Beim 1. Bruch nun die genannte Substitution durchführen.
> Beim 2. Bruch kann man im zähler eine binomische Formel
> anwenden und anschließend kürzen.
$ [mm] \int_{}^{} \bruch{2-x}{1+\wurzel{x}}\, [/mm] $ dx = $ [mm] \int_{}^{} \bruch{1}{1+\wurzel{x}}\, [/mm] $ dx + $ [mm] \int_{}^{} \bruch{1-x}{1+\wurzel{x}}\, [/mm] $ dx
u = [mm] 1+\wurzel{x}
[/mm]
dx = [mm] 2\wurzel{x} [/mm] du
$ = 2 [mm] \int_{}^{} \bruch{\wurzel{x}}{u}\, [/mm] $ du + $ [mm] \int_{}^{} \bruch{1-x}{1+\wurzel{x}}\, [/mm] $ dx
Dies führt mich beim ersten Bruch, doch zu dem vorherigen, bei dem ich nicht weiterkomme?
Bei dem zweiten Bruch, sehe ich nicht, wie ich im Zähler eine binomische Formel anwenden kann?
Gruß
itse
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> Hallo Roadrunner,
>
> > Zwei Tipps ...
> >
> > Zum einen kannst Du auch umformen zu: [mm]\wurzel{x} \ = \ u-1[/mm]
>
> wie sieht dann die Mitsubstitution der
> Integrationskonstanten aus?
>
> Soll ich dann x = u²-2u+1
>
> [mm]\bruch{dx}{du}[/mm] = 2u-2 -> dx = 2u-2 du
>
>[mm]\int_{}^{} \bruch{(2-(u²-2u+1))(2u-2)}{1+u-1}\,[/mm] du
>
Bis auf die fehlende Klammer (hab ich ergänzt) bist du doch hier fertig - oben ausmultiplizieren, dann kannst du fast überall das u aus dem Nenner wegkürzen (d.h. es bleiben nur ganzrationale Terme) und im letzten Summand bleibt ein [mm] -\bruch{2}{u} [/mm] übrig, wo du leicht die Stammfunktion findest.
Dann bist du eigentlich fertig.
Roadrunner hat dir aber noch eine Alternative aufgezeigt, was du statt dieser Rechnung machen kannst.
In dem einen Teil brauchst du die gleiche Substitution, also:
[mm]u = 1 + \wurzel{x}[/mm], also auch [mm]\wurzel{x} = u - 1[/mm] (*)
[mm]\Rightarrow \bruch{du}{dx}=\bruch{1}{2*\wurzel{x}}[/mm]
[mm]\Rightarrow dx=2*\wurzel{x}*du = 2*(u-1)du[/mm] wegen (*)
Einsetzen und fertig.
>
> [mm]= 2 \int_{}^{} \bruch{\wurzel{x}}{u}\,[/mm] du + [mm]\int_{}^{} \bruch{1-x}{1+\wurzel{x}}\,[/mm]
> dx
Also beim ersten Bruch noch (*) benutzen, dann hast du etwas leicht integrierbares.
Die Binomische Formel im zweiten Teil (damit du den Nenner wegkürzen kannst): [mm]1-x = (1+\wurzel{x})*(1-\wurzel{x})[/mm].
Dann bleibt auch eine leicht integrierbare Funktion übrig.
Gruß,
weightgainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 Fr 29.05.2009 | | Autor: | itse |
Hallo,
nur zur Überprüfung
bei Variante 1 erhalte ich dann:
... = [mm] -\int_{}^{} 2u²\, [/mm] du + [mm] \int_{}^{} 6u\, [/mm] du - [mm] \int_{}^{} 2\, [/mm] du -2 [mm] \int_{}^{} \bruch{1}{u}\, [/mm] du
= [mm] -\bruch{2}{3}u³+3u²-2u-2 \cdot{} [/mm] ln(u) + C
= [mm] -\bruch{2}{3}(\wurzel{x}+1)³ [/mm] + [mm] 3(\wurzel{x}+1)² [/mm] - [mm] 2(\wurzel{x}+1) [/mm] - 2 [mm] \cdot{} ln(\wurzel{x}+1) [/mm] + C
Müsste doch stimmen?
bei Variaten 2 erhalte ich dann:
... = [mm] \int_{}^{} \bruch{2u-2}{u}\, [/mm] du + [mm] \int_{}^{} 1-\wurzel{x}\, [/mm] dx = [mm] \int_{}^{} 2\, [/mm] du -2 [mm] \int_{}^{} \bruch{1}{u}\, [/mm] du + [mm] \int_{}^{} 1\, [/mm] dx - [mm] \int_{}^{} x^{\bruch{1}{2}}\, [/mm] dx
= [mm] 2u-2\cdot{} [/mm] ln(u) + x - [mm] \bruch{2}{3}x^\bruch{3}{2} [/mm] + C
= [mm] 2(\wurzel{x}+1)-2\cdot{} ln(\wurzel{x}+1) [/mm] + x - [mm] \bruch{2}{3}x^\bruch{3}{2} [/mm] + C
= [mm] 2\wurzel{x} [/mm] + 2 - [mm] 2\cdot{} ln(\wurzel{x}+1) [/mm] + x - [mm] \bruch{2}{3}x^\bruch{3}{2} [/mm] + C
Müsste doch stimmen?
Warum sind es eigentlich zwei unterschiedliche Ergebnisse?
Gruß
itse
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> Hallo,
>
> nur zur Überprüfung
>
> bei Variante 1 erhalte ich dann:
>
> ... = [mm]-\int_{}^{} 2u²\,[/mm] du + [mm]\int_{}^{} 6u\,[/mm] du -
> [mm]\int_{}^{} 2\,[/mm] du -2 [mm]\int_{}^{} \bruch{1}{u}\,[/mm] du
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> = [mm]-\bruch{2}{3}u³+3u²-2u-2 \cdot{}[/mm] ln(u) + C
>
> = [mm]-\bruch{2}{3}(\wurzel{x}+1)³[/mm] + [mm]3(\wurzel{x}+1)²[/mm] -
> [mm]2(\wurzel{x}+1)[/mm] - 2 [mm]\cdot{} ln(\wurzel{x}+1)[/mm] + C
>
> Müsste doch stimmen?
>
>
> bei Variaten 2 erhalte ich dann:
>
> ... = [mm]\int_{}^{} \bruch{2u-2}{u}\,[/mm] du + [mm]\int_{}^{} 1-\wurzel{x}\,[/mm]
> dx = [mm]\int_{}^{} 2\,[/mm] du -2 [mm]\int_{}^{} \bruch{1}{u}\,[/mm] du +
> [mm]\int_{}^{} 1\,[/mm] dx - [mm]\int_{}^{} x^{\bruch{1}{2}}\,[/mm] dx
>
> = [mm]2u-2\cdot{}[/mm] ln(u) + x - [mm]\bruch{2}{3}x^\bruch{3}{2}[/mm] + C
>
> = [mm]2(\wurzel{x}+1)-2\cdot{} ln(\wurzel{x}+1)[/mm] + x -
> [mm]\bruch{2}{3}x^\bruch{3}{2}[/mm] + C
>
> = [mm]2\wurzel{x}[/mm] + 2 - [mm]2\cdot{} ln(\wurzel{x}+1)[/mm] + x -
> [mm]\bruch{2}{3}x^\bruch{3}{2}[/mm] + C
>
> Müsste doch stimmen?
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> Warum sind es eigentlich zwei unterschiedliche Ergebnisse?
>
Weil du zwei unterschiedliche Wege benutzt hast - die dich zu unterschiedlichen Stammfunktionen führen. Wenn du die Klammern deiner ersten Variante ausmultiplizierst und zusammenfasst und das mit deiner zweiten Lösung vergleichst, unterscheiden die sich nur um [mm] \bruch{5}{3}. [/mm] Und das steckt ja in deinem "+C" jeweils mit drin.
Gruß,
weightgainer
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