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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Do 04.02.2010 | | Autor: | JulianTa |
| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] \integral_0^2{\sqrt{4-x^2} dx} [/mm] |
Hallo zusammen!
Ich bin ein wenig am verzweifeln. Ich versuche mir gerade die Integration durch Substitution reinzukloppen und kann einfache integrale auch gut lösen.
Wir haben in der VL die Regel, dass
[mm] \integral_a^b{f(g(x)) \cdot g'(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_a^b{f(t) dt}.
[/mm]
Wenn ich also eine Integration druchführen soll, dann schau ich, dass ich etwas substituieren kann, dessen Ableitung schon so (bis auf ein vielfaches) in meiner FUnktion vorkommt.
Damit bin ich bisher ganz gut gefahren.
Jetzt hab ich obige Aufgabe und sogar einen Hinweis mit dazu gegeben:
Man soll folgendermaßen Substituieren: $x= 2 [mm] \cdot \sin(x)$
[/mm]
Ich habe das ganze umgestellt zu $y = [mm] \arcsin(\frac{x}{2})$
[/mm]
und bekomme wundersamerweise als Ableitung
[mm] \frac{dy}{dx}= \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}.
[/mm]
So ganz dumm scheint diese Substitution also gar nicht zu sein. (ok, sie kam als Tipp mit der Aufgabe aber man wird ja mal noch hinterfragen dürfen...  )
Aber wie bitte mach ich jetzt weiter? Ich finde diese schöne Ableitung ja irgendwie in der Funktion selbst wieder aber ich komme total mit den doofen $dx$, $dy$ und [mm] \frac{dy}{dx} [/mm] durcheinander.
Kann mir jemand helfen?
Danke schonmal!
Gruß, julianta
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 Do 04.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie [mm]\integral_0^2{\sqrt{4-x^2} dx}[/mm]
> Hallo
> zusammen!
> Ich bin ein wenig am verzweifeln. Ich versuche mir gerade
> die Integration durch Substitution reinzukloppen und kann
> einfache integrale auch gut lösen.
> Wir haben in der VL die Regel, dass
> [mm]\integral_a^b{f(g(x)) \cdot g'(x) dx}[/mm] = [mm]\integral_a^b{f(t) dt}.[/mm]
>
> Wenn ich also eine Integration druchführen soll, dann
> schau ich, dass ich etwas substituieren kann, dessen
> Ableitung schon so (bis auf ein vielfaches) in meiner
> FUnktion vorkommt.
> Damit bin ich bisher ganz gut gefahren.
> Jetzt hab ich obige Aufgabe und sogar einen Hinweis mit
> dazu gegeben:
> Man soll folgendermaßen Substituieren: [mm]x= 2 \cdot \sin(x)[/mm]
>
> Ich habe das ganze umgestellt zu [mm]y = \arcsin(\frac{x}{2})[/mm]
>
> und bekomme wundersamerweise als Ableitung
> [mm]\frac{dy}{dx}= \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}.[/mm]
> So ganz dumm
> scheint diese Substitution also gar nicht zu sein. (ok, sie
> kam als Tipp mit der Aufgabe aber man wird ja mal noch
> hinterfragen dürfen... )
> Aber wie bitte mach ich jetzt weiter? Ich finde diese
> schöne Ableitung ja irgendwie in der Funktion selbst
> wieder aber ich komme total mit den doofen [mm]dx[/mm], [mm]dy[/mm] und
> [mm]\frac{dy}{dx}[/mm] durcheinander.
> Kann mir jemand helfen?
> Danke schonmal!
> Gruß, julianta
Die Subst. lautet wohl so: [mm]x= 2 \cdot \sin(t)[/mm]
Dann ist [mm] $4-x^2= 4-4sin^2(t) [/mm] = [mm] 4cos^2(t)$ [/mm] und $dx = 2cos(t) *dt$
FRED
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Do 04.02.2010 | | Autor: | JulianTa |
Na gut, dann habe ich also mit $x = 2 [mm] \sin{t} \gdw [/mm] t= [mm] \arcsin{\frac{x}{2}}$:
[/mm]
[mm] \integral_0^2{\sqrt{4-x^2}dx} [/mm] = [mm] \integral_0^{\frac{\pi}{2}}{\left(\sqrt{4-4 (\sin{t})^2} \cdot 2 \cos{t}\right) dt}
[/mm]
= [mm] 4\integral_0^{\frac{\pi}{2}}{\left(\sqrt{1-(\sin{t})^2} \cdot \cos{t}\right) dt}.
[/mm]
WÜrde das denn schonmal stimmen?
Wie mach ich denn dann weiter?
Danke schonmal für die Mühe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Do 04.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Na gut, dann habe ich also mit [mm]x = 2 \sin{t} \gdw t= \arcsin{\frac{x}{2}}[/mm]:
>
> [mm]\integral_0^2{\sqrt{4-x^2}dx}[/mm] =
> [mm]\integral_0^{\frac{\pi}{2}}{\left(\sqrt{4-4 (\sin{t})^2} \cdot 2 \cos{t}\right) dt}[/mm]
>
> = [mm]4\integral_0^{\frac{\pi}{2}}{\left(\sqrt{1-(\sin{t})^2} \cdot \cos{t}\right) dt}.[/mm]
>
> WÜrde das denn schonmal stimmen?
Ja
> Wie mach ich denn dann weiter?
[mm] $\sqrt{1-(\sin{t})^2}= [/mm] cos(t)$ für t [mm] \in [/mm] [0, [mm] \pi/2]
[/mm]
FRED
> Danke schonmal für die Mühe
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