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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:26 Mi 30.03.2011 | | Autor: | Schobbi |
Guten Abend zusammen! Vielleicht könnt Ihr mir bei folgender Aufgabe behilflich sein, denn irgendwie fehlt mir da wohl der richtige Kniff.
Es geht daraum folgendes Integral zu berechnen, bzw. die Stammfunktion anzugeben:
[mm] \integral_{}^{}{\wurzel{1+x^2}dx} [/mm] mit [mm] x=\bruch{1}{2}(e^{t}-e^{-t})
[/mm]
Ich habe folgende Substitution druchgeführt:
[mm] g(t)=x=\bruch{1}{2}(e^{t}-e^{-t})
[/mm]
[mm] g'(t)=\bruch{1}{2}(e^{t}+e^{-t})
[/mm]
Ebenfalls gilt: [mm] g'(t)=\bruch{dx}{dt} [/mm] und somit [mm] \bruch{1}{2}(e^{t}+e^{-t})=\bruch{dx}{dt}
[/mm]
Also: [mm] dx=\bruch{1}{2}(e^{t}+e^{-t})dt
[/mm]
Demnach gilt:
[mm] \integral_{}^{}{\wurzel{1+(\bruch{1}{2}(e^{t}-e^{-t}))^2}*\bruch{1}{2}(e^{t}+e^{-t})dt} [/mm]
Leider fehlt mir nun die Idee wie ich obige Gleichung zusammenfassen kann. Vielleicht könnt ihr mir da dein ein oder andern Tipp geben. DANKE!
Grüße Schobbi
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Hallo,
substituiere $x=tan(u)$ rechne es aus und setze [mm] $x=\frac{1}{2}(e^{t}-e^{-t})$ [/mm] zum Schluss ein.
Gruss
kushkush
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:13 Do 31.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> substituiere [mm]x=tan(u)[/mm] rechne es aus und setze
> [mm]x=\frac{1}{2}(e^{t}-e^{-t})[/mm] zum Schluss ein.
Hallo kushkush,
mach mal obiges vor .....
FRED
>
>
>
> Gruss
>
> kushkush
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> Guten Abend zusammen! Vielleicht könnt Ihr mir bei
> folgender Aufgabe behilflich sein, denn irgendwie fehlt mir
> da wohl der richtige Kniff.
>
> Es geht daraum folgendes Integral zu berechnen, bzw. die
> Stammfunktion anzugeben:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\wurzel{1+x^2}dx}[/mm] mit
> [mm]x=\bruch{1}{2}(e^{t}-e^{-t})[/mm]
>
> Ich habe folgende Substitution druchgeführt:
> [mm]g(t)=x=\bruch{1}{2}(e^{t}-e^{-t})[/mm]
> [mm]g'(t)=\bruch{1}{2}(e^{t}+e^{-t})[/mm]
>
> Ebenfalls gilt: [mm]g'(t)=\bruch{dx}{dt}[/mm] und somit
> [mm]\bruch{1}{2}(e^{t}+e^{-t})=\bruch{dx}{dt}[/mm]
>
> Also: [mm]dx=\bruch{1}{2}(e^{t}+e^{-t})dt[/mm]
>
> Demnach gilt:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\wurzel{1+(\bruch{1}{2}(e^{t}-e^{-t}))^2}*\bruch{1}{2}(e^{t}+e^{-t})dt}[/mm]
hallo,
du kannst auch bedenken, dass es hier um den sinh geht.
wende dann an, dass [mm] sinh^2+1=cosh^2
[/mm]
oder setze einfach die definition für x ein, quadriere und löse die klammer auf, danach die 1 dazuaddieren und wieder faktorisieren
>
> Leider fehlt mir nun die Idee wie ich obige Gleichung
> zusammenfassen kann. Vielleicht könnt ihr mir da dein ein
> oder andern Tipp geben. DANKE!
>
> Grüße Schobbi
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:31 Mi 30.03.2011 | | Autor: | Schobbi |
Erstmal vielen Dank für Eure Hilfe, aber leider konnte ich damit nicht all zu viel Anfangen, denn die Hyperbolicus-Funktionen waren leider noch kein Bestandteil des Unterrichts und ich darf sie somit nicht benutzen. Zum Andern stehe ich mit dem Tangens vor dem gleichen Problem, denn ich weiß nicht wie ich folgenden Term zusammen fassen soll:
[mm] \integral_{}^{}{\wurzel{1+x^2}dx} [/mm] mit x=g(t)=tan(t) und [mm] g'(t)=1+tan^2(t)
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\wurzel{1+tan^2(t)}*(1+tan^2(t))dt}
[/mm]
Ich hab schon an die 3. Binomische Formel gedacht und auch an den Zusammenhang von [mm] cos^2(x)+sin^2(x)=1 [/mm] und auch [mm] tan(x)=\bruch{sin(x)}{cos(x)} [/mm]
Aber es führt bei mir keine der Ideen zum Ziel :(
Beste Grüße Schobbi
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Hallo Schobbi,
die Substitution [mm]x=\tan(u)[/mm] halte ich für nicht so sehr zielführend...
Meines Erachtens ist die ganze Aufgabe so gemeint:
Du sollst [mm]\int{\sqrt{1+x^2} \ dx}[/mm] mit der Substitution [mm]x=\frac{1}{2}\left(e^{t}-e^{-t}\right)[/mm] berechnen.
Und [mm]\frac{1}{2}\left(e^t-e^{-t}\right)=\sinh(t)[/mm] (so ist das Biest definiert)
Wenn du das mal so ansetzt, ist [mm]\frac{dx}{dt}=\frac{1}{2}\left(e^t+e^{-t}\right)[/mm],(das ist übrigens die Def. von [mm] $\cosh(t)$), [/mm] also [mm]dx=\frac{1}{2}\left(e^t+e^{-t}\right) \ dt[/mm]
Außerdem ist [mm]1+x^2=...[/mm], also [mm]\sqrt{1+x^2}=...[/mm]
Damit sollte es dann doch klappen ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:13 Do 31.03.2011 | | Autor: | Schobbi |
Super! Jetzt hab ichs :)
Vielen Dank für deine Hilfe
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