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| Aufgabe | | die Bogenlänge der Kurve [mm] \pmat{ t \\ 2+t^2} 1\le [/mm] t [mm] \le [/mm] 3 |
Hallo,
Ich habe nun folgendes:
[mm] \integral_{1}^{3}{\wurzel{1+4t^2} dt}
[/mm]
Jetzt wollte ich das ganze per substitution lösen und dachte mir ich substituere mit [mm] t=\bruch{tan(x)}{2}. [/mm] Jetzt stehe ich gerade auf der Leitung und frage mich wie ich weiter machen muss :(. ich kann t nach x ableiten und erhalte dann [mm] \bruch{dt}{dx}=\bruch{1}{2*cos(x)^2}
[/mm]
Jetzt kann ich nach dt auflösen und in die Gleichung einsetzen:
[mm] \integral_{1}^{3}{\wurzel{\bruch{1}{2*cos(x)^4}} dx} [/mm] mit [mm] 1+tan(x)=\bruch{1}{cos(x)^2}
[/mm]
Stimmt das bis jetzt so? irgendwie komme ich da nicht weiter.
bin für jede Hilfe dankbar!
mfg Double
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Hallo DoubleHelix,
> die Bogenlänge der Kurve [mm]\pmat{ t \\ 2+t^2} 1\le[/mm] t [mm]\le[/mm] 3
> Hallo,
> Ich habe nun folgendes:
> [mm]\integral_{1}^{3}{\wurzel{1+4t^2} dt}[/mm]
> Jetzt wollte ich
> das ganze per substitution lösen und dachte mir ich
> substituere mit [mm]t=\bruch{tan(x)}{2}.[/mm] Jetzt stehe ich gerade
> auf der Leitung und frage mich wie ich weiter machen muss
> :(. ich kann t nach x ableiten und erhalte dann
> [mm]\bruch{dt}{dx}=\bruch{1}{2*cos(x)^2}[/mm]
> Jetzt kann ich nach dt auflösen und in die Gleichung
> einsetzen:
>
> [mm]\integral_{1}^{3}{\wurzel{\bruch{1}{2*cos(x)^4}} dx}[/mm] mit
> [mm]1+tan(x)=\bruch{1}{cos(x)^2}[/mm]
>
> Stimmt das bis jetzt so? irgendwie komme ich da nicht
Nein, das stimmt nicht.
> weiter.
>
Günstiger ist die Substitution [mm]t=\bruch{1}{2}* \sinh\left(x\right)[/mm]
> bin für jede Hilfe dankbar!
> mfg Double #
Gruss
MathePower
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Vielen Dank für deine schnelle Antwort!
Wenn ich nun [mm] t=\bruch{sinh(x)}{2} [/mm] schreibe dann erhallte ich:
[mm] \integral_{1}^{3}{cosh(x)*\bruch{cosh(x)}{2} dx} [/mm] mit [mm] \wurzel{1+sinh(x)^2}=cosh(x).
[/mm]
Passt das so? mir gehts um die Substitution, ob ich sie richtig angewannt habe.
mfg Double
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Hallo DoubleHelix,
> Vielen Dank für deine schnelle Antwort!
>
> Wenn ich nun [mm]t=\bruch{sinh(x)}{2}[/mm] schreibe dann erhallte
> ich:
> [mm]\integral_{1}^{3}{cosh(x)*\bruch{cosh(x)}{2} dx}[/mm] mit
> [mm]\wurzel{1+sinh(x)^2}=cosh(x).[/mm]
>
> Passt das so? mir gehts um die Substitution, ob ich sie
> richtig angewannt habe.
>
Die Substitution hast Du richtig angewandt.
Die Grenzen sind auch der Substitution unterworfen,
d.h. die neuen Grenzen lauten anders.
> mfg Double
Gruss
MathePower
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Vielen Dank! Ich habs. Habe geschrieben 2*t=arsinh(x) auf x umgeformt für t 1 bzw. 2 eingesetzt und somit die richtigen Grenzen herausbekommen.
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Hallo DoubleHelix,
> Vielen Dank! Ich habs. Habe geschrieben 2*t=arsinh(x) auf x
Du meinst wohl: [mm]2t=\sinh\left(x\right)[/mm]
> umgeformt für t 1 bzw. 2 eingesetzt und somit die
> richtigen Grenzen herausbekommen.
Gruss
MathePower
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genau :-D also [mm] x_1,x_2=arsinh(2*t) [/mm] mit t= 1 bzw. 2
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:46 So 23.10.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ich soll auch die Bogenlänge für [mm] \gamma(t):=\vektor{2t \\ t^{2} \\ln(t)} [/mm] berechnen.
D.h es soll [mm] \integral_{}^{}{\wurzel{4+4t^{2}+\bruch{1}{t^{2}}} dt}
[/mm]
berechnet werden (Die Integrationsgrenzen sind auch dabei, die ich hier nicht angebe).
Ich denke, dass man hier auch eine Substitution braucht.
Welche kann man hier nehmen ?
Gruss
Igor
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Hallo Igor,
es gilt:
[mm] 4+4t^{2}+\bruch{1}{t^{2}}=\left(2t+\frac{1}{t}\right)^2
[/mm]
LG
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