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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:02 Fr 29.11.2013 | | Autor: | Manu3911 |
| Aufgabe | Löstung des unbestimmten Integrals:
[mm] \integral \bruch{2}{3+cos x}\, [/mm] dx |
Hallo,
ich hab mal wieder ein Problem mit der Integration.Ich hab 3+cos x substituiert und dann partielle Integration versucht, komm damit aber irgendwie nicht zum Ende. Kann mir vielleicht jemand sagen, ob mein Ansatz erstmal ok wäre oder ob ich da grundlegend anders rangehen soll?
Gruß Manu
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 Fr 29.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Löstung des unbestimmten Integrals:
> [mm]\integral \bruch{2}{3+cos x}\,[/mm] dx
> Hallo,
> ich hab mal wieder ein Problem mit der Integration.Ich hab
> 3+cos x substituiert und dann partielle Integration
> versucht,
wozu substituierst Du zuerst, wenn Du dann p.I. anwenden willst?
Du kannst mit [mm] $z=z(x)=3+cos(x)\,$ [/mm] durchaus mal formal rechnen:
[mm] $dz=-\sin(x)dx$ [/mm] und daher
[mm] $\int \frac{2}{3+\cos(x)}dx=2*\int \frac{1}{z}*\frac{-1}{\sin(x)}dz\,.$
[/mm]
Aber Vorsicht: [mm] $\sin(x)$ [/mm] ist nicht unabhängig von [mm] $z\,.$ [/mm] So "grob" sollten
wir in etwas unbedachter Weise vielleicht einfach mal [mm] $\sin(x) \ge [/mm] 0$ annehmen,
(wir nehmen an, der Definitionsbereich des Ausgangsintegranden sei so
klein, dass das erfüllt wäre), dann können wir
[mm] $=-2*\int \frac{1}{z}*\frac{1}{\sqrt{1-(z-3)^2}}dz$
[/mm]
schreiben.
Mit
[mm] $\int \frac{1}{\sqrt{1-w^2}}dw=\arcsin(w)$
[/mm]
kann man viellleicht weiterarbeiten bei p.I. - und jetzt sehe ich auch, dass
Du das vielleicht auch so meintest. Vielleicht rechnet das ja jemand anderes
nochmal weiter, daher stelle ich mal nur auf halb beantwortet...
(Das Ganze sieht mir so jedenfalls nicht leicht aus: Wenn man bei
[mm] $\int \frac{1}{\sqrt{1-(z-3)^2}}dz$
[/mm]
dann nochmal [mm] $w:=z-3\,$ [/mm] setzt, hat man ja nochmal was zu rechnen, weil
ja dann $dw=-2(z-3)+6$ ist...
Generell gucke aber ruhig mal
![[]](/images/popup.gif) hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_von_Ableitungs-_und_Stammfunktionen
Und
http://www.wolframalpha.com/
ist auch immer ein guter Ansprechpartner. Das Schöne ist ja: Wenn man
das Ergebnis kennt, so kann man durch Ableiten vielleicht auch erkennen,
welcher Integrationsweg "straight forward" funktioniert und das dann
auch nochmal hinschreiben.)
Also:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=int+%282%2F%283%2Bcos%28x%29%29%29dx
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 Fr 29.11.2013 | | Autor: | Manu3911 |
Könntest du mir eventuell noch erklären, wie du auf den zweiten Faktor im Integral kommst, also [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-z^2}}?
[/mm]
Wenn ich die Substitutionsgleichung umstelle, erhalte ich ja x=arccos(z-3). Wenn ich das im Nenner einsetze, erhalte ich ja dann sin(arccos(z-3)). Wie komme ich denn da dann auf die wurzel? Also ich weiß allgemein, dass sin(arccos(x)) = [mm] \wurzel{1-x^2}, [/mm] aber in meinem fall steht ja in der Klammer des arccos noch die - 3?
Danke!
Gruß Manu
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Hallo,
> Könntest du mir eventuell noch erklären, wie du auf den
> zweiten Faktor im Integral kommst, also
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{1-z^2}}?[/mm]
Du meinst [mm] $\frac{1}{\sqrt{1-(z-3)^2}}$ [/mm] ?
Nun, es wurde doch gesetzt: [mm] $z=3+\cos(x)$, [/mm] also [mm] $z-3=\cos(x)$
[/mm]
Weiter ist [mm] $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$, [/mm] also [mm] $\sin(x)=\pm\sqrt{1-\cos^2(x)}$
[/mm]
Und das führt mit [mm] $\cos(x)=z-3$ [/mm] und Marcels Annahme auf den obigen Term
> Wenn ich die Substitutionsgleichung umstelle, erhalte ich
> ja x=arccos(z-3). Wenn ich das im Nenner einsetze, erhalte
> ich ja dann sin(arccos(z-3)). Wie komme ich denn da dann
> auf die wurzel? Also ich weiß allgemein, dass
> sin(arccos(x)) = [mm]\wurzel{1-x^2},[/mm] aber in meinem fall steht
> ja in der Klammer des arccos noch die - 3?
>
> Danke!
>
> Gruß Manu
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Fr 29.11.2013 | | Autor: | Manu3911 |
Ja, genau das meinte ich! Vielen Dank für die super Erklärung, das hat mir alles perfekt beantwortet! ((:
Gruß Manu
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