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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:39 Mo 12.01.2009 | | Autor: | n0rdi |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Rauminhalt des enstehenden Rotationskörpers an der Y-Achse (c und d sind die Grenzen).
f(x)=8/(4-x²); c=3; d=4 |
Da es eine Rotation an der y-Achse ist, muss ich doch von der gegebenen Funktion die Umkehrfunktion bilden, die wie folgt lautet:
[mm] y=\wurzel{\bruch{8+4x}{x}}
[/mm]
Die Formel für das Volumen ist:
[mm] V=\pi [/mm] * [mm] \integral_{a}^{b}{f(x)² dx}
[/mm]
Wenn ich nun die Funktion dort einsetze, löst sich ja die Wurzel auf aufgrund der Potenz:
[mm] V=\pi [/mm] * [mm] \integral_{3}^{4}{\bruch{8+4x}{x} dx}
[/mm]
Nun geht es ja an die Substitution heran ;)
Ich ersetze den Nenner, hier x, mit u und das dx ersetze ich durch [mm] \bruch{du}{1}, [/mm] da die Ableitung von x ja 1 ist.
Wenn ich nun die Stammfunktion bilde erhalte ich:
[mm] \pi [/mm] * 8+4x * ln(u)
Das u muss ich ja wieder mit dem x ersetzen und dann folglich die Grenzen einsetzen.
Bei mir kommt allerdings als Flächeninhalt 28,268 heraus. Mein TI sagt aber 19,7966 FE.
Kann mir jemand weiterhelfen? Fehler bei der Umformung?
ich bedanke mich schon einmal ür euer Bemühen und Rat im Voraus.
MFG
n0rdi
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Hallo Thomas,
> Berechnen Sie den Rauminhalt des enstehenden
> Rotationskörpers an der Y-Achse (c und d sind die
> Grenzen).
> f(x)=8/(4-x²); c=3; d=4
> Da es eine Rotation an der y-Achse ist, muss ich doch von
> der gegebenen Funktion die Umkehrfunktion bilden, die wie
> folgt lautet:
> [mm]y=\wurzel{\bruch{8+4x}{x}}[/mm]
Da stimmt aber ein Vorzeichen nicht, rechne nochmal nach, es sollte als UKF rauskommen [mm] $y=\pm\sqrt{\frac{4x-8}{x}}=\pm\sqrt{4-\frac{8}{x}}$
[/mm]
> Die Formel für das Volumen ist:
> [mm]V=\pi[/mm] * [mm]\integral_{a}^{b}{f(x)² dx}[/mm]
Achtung mit den Grenzen, bei Rotation um die y-Achse sind die Grenzen $f(c)=f(3)=...$ und $f(d)=f(4)=...$
> Wenn ich nun die
> Funktion dort einsetze, löst sich ja die Wurzel auf
> aufgrund der Potenz:
> [mm]V=\pi[/mm] * [mm]\integral_{3}^{4}{\bruch{8+4x}{x} dx}[/mm]
>
> Nun geht es ja an die Substitution heran ;)
> Ich ersetze den Nenner, hier x, mit u und das dx ersetze
> ich durch [mm]\bruch{du}{1},[/mm] da die Ableitung von x ja 1 ist.
> Wenn ich nun die Stammfunktion bilde erhalte ich:
> [mm]\pi[/mm] * 8+4x * ln(u)
> Das u muss ich ja wieder mit dem x ersetzen und dann
> folglich die Grenzen einsetzen.
> Bei mir kommt allerdings als Flächeninhalt 28,268 heraus.
> Mein TI sagt aber 19,7966 FE.
>
> Kann mir jemand weiterhelfen? Fehler bei der Umformung?
> ich bedanke mich schon einmal ür euer Bemühen und Rat im
> Voraus.
Einmal vom VZF, zum anderen sind die Grenzen falsch, außerdem ist eine Substitution nicht nötig!
Du kannst das Integral [mm] $\pi\cdot{}\int\limits_{f(3)}^{f(4)}{\left(4-\frac{8}{x}\right) \ dx}$ [/mm] doch in die Summe zweier Integrale aufspalten bzw. summandenweise integrieren
Und eine Stammfunktion von [mm] $\frac{1}{x}$ [/mm] kennst du ...
>
> MFG
> n0rdi
Gruß
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:58 Mo 12.01.2009 | | Autor: | n0rdi |
> Hallo Thomas,
>
> > Berechnen Sie den Rauminhalt des enstehenden
> > Rotationskörpers an der Y-Achse (c und d sind die
> > Grenzen).
> > f(x)=8/(4-x²); c=3; d=4
> > Da es eine Rotation an der y-Achse ist, muss ich doch
> von
> > der gegebenen Funktion die Umkehrfunktion bilden, die wie
> > folgt lautet:
> > [mm]y=\wurzel{\bruch{8+4x}{x}}[/mm]
>
> Da stimmt aber ein Vorzeichen nicht, rechne nochmal nach,
> es sollte als UKF rauskommen
> [mm]y=\pm\sqrt{\frac{4x-8}{x}}=\pm\sqrt{4-\frac{8}{x}}[/mm]
ja stimmt, das habe ich gar nicht bemerkt, habe nun die richtige UKF heraus!
> > Die Formel für das Volumen ist:
> > [mm]V=\pi[/mm] * [mm]\integral_{a}^{b}{f(x)² dx}[/mm]
>
> Achtung mit den Grenzen, bei Rotation um die y-Achse sind
> die Grenzen [mm]f(c)=f(3)=...[/mm] und [mm]f(d)=f(4)=...[/mm]
Ich habe vergessen, zu sagen, dass es y=c und y=d sind, sprich keine x-Werte der Funktionen.
> > Wenn ich nun die
> > Funktion dort einsetze, löst sich ja die Wurzel auf
> > aufgrund der Potenz:
> > [mm]V=\pi[/mm] * [mm]\integral_{3}^{4}{\bruch{8+4x}{x} dx}[/mm]
> >
> > Nun geht es ja an die Substitution heran ;)
> > Ich ersetze den Nenner, hier x, mit u und das dx
> ersetze
> > ich durch [mm]\bruch{du}{1},[/mm] da die Ableitung von x ja 1 ist.
> > Wenn ich nun die Stammfunktion bilde erhalte ich:
> > [mm]\pi[/mm] * 8+4x * ln(u)
> > Das u muss ich ja wieder mit dem x ersetzen und dann
> > folglich die Grenzen einsetzen.
> > Bei mir kommt allerdings als Flächeninhalt 28,268
> heraus.
> > Mein TI sagt aber 19,7966 FE.
> >
> > Kann mir jemand weiterhelfen? Fehler bei der Umformung?
> > ich bedanke mich schon einmal ür euer Bemühen und Rat
> im
> > Voraus.
>
> Einmal vom VZF, zum anderen sind die Grenzen falsch,
> außerdem ist eine Substitution nicht nötig!
stimmt, die Substitution ist nicht nötig. Bei mir ist die Frage, wann brauch ich diese ;)?
> Du kannst das Integral
> [mm]\pi\cdot{}\int\limits_{f(3)}^{f(4)}{\left(4-\frac{8}{x}\right) \ dx}[/mm]
> doch in die Summe zweier Integrale aufspalten bzw.
> summandenweise integrieren
>
> Und eine Stammfunktion von [mm]\frac{1}{x}[/mm] kennst du ...
Klar das ist ln(x)
meine Lösung ist nun 3/2 [mm] \Pi [/mm] und sollte so richtig sein ;)
> >
> > MFG
> > n0rdi
>
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:12 Di 13.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo n0rdi!
> meine Lösung ist nun 3/2 [mm]\Pi[/mm] und sollte so richtig sein ;)
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Da habe ich etwas anderes heraus.
Bitte rechne es mal vor ...
Gruß
Loddar
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> Achtung mit den Grenzen, bei Rotation um die y-Achse sind
> die Grenzen [mm]f(c)=f(3)=...[/mm] und [mm]f(d)=f(4)=...[/mm]
hallo schachuzipus,
Ich verstehe die "Grenzen" c=3 und d=4 für die
Rotation der Kurve um die y-Achse als y-Werte.
Beim Weg über die Umkehrfunktion wird diese
natürlich um die x-Achse rotiert, und zwar zwischen
den Grenzen [mm] x_1=c=3 [/mm] und [mm] x_2=d=4 [/mm] !
Gruß
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Hallo Al,
> > Achtung mit den Grenzen, bei Rotation um die y-Achse sind
> > die Grenzen [mm]f(c)=f(3)=...[/mm] und [mm]f(d)=f(4)=...[/mm]
>
>
> hallo schachuzipus,
>
> Ich verstehe die "Grenzen" c=3 und d=4 für die
> Rotation der Kurve um die y-Achse als y-Werte.
Jo, das hatte ich genau andersherum "gelesen", aber es hat sich ja nun nach der erneuten Rückmeldung von Thomas geklärt
>
> Beim Weg über die Umkehrfunktion wird diese
> natürlich um die x-Achse rotiert, und zwar zwischen
> den Grenzen [mm]x_1=c=3[/mm] und [mm]x_2=d=4[/mm] !
>
> Gruß
LG
schachuzipus
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