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Substitution finden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:25 So 07.12.2008
Autor: Marry2605

Aufgabe
Berechnen sie folgende Integrale:
[mm] \integral_{0}^{10}{x dx} [/mm]
[mm] \integral_{0}^{a}{3x^2-x+1 dx} [/mm]
[mm] \integral_{0}^{m}{\bruch{x^2+m^2}{m^2} dx} [/mm]

Ich bin gerade beim Integrale berechnen und leider schon wieder auf ein Problem gestoßen.

Beim ersten komme ich auf 50.

Beim zweiten komme icih auf [mm] a^3 [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}a^2 [/mm] + a

Und beim dritten frag ich mich jetzt wie ich [mm] \bruch{x^2+m^2}{m^2} [/mm] Integriere?
Meine Vermutung wäre ja das ganze mit einer Substitution zu machen. Von Prinzip ist mir das denke ich mal auch klar. Meine Frage ist jetzt wie finde ich am besten das wonach ich Substituiere? Bei unseren Beispielaufgaben stand das immer dabei und ich bin jetzt irgendwie etwas ratlos?

Lg
Marry

        
Bezug
Substitution finden: zerlegen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:28 So 07.12.2008
Autor: Loddar

Hallo Marry!


Die ersten beiden Ergebnisse habe ich auch erhalten. [ok]


Beim letzten musst Du nicht substituieren sondern zerlegen:

[mm] $$\bruch{x^2+m^2}{m^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^2}{m^2}+\bruch{m^2}{m^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{m^2}*x^2+1$$ [/mm]
Dabei ist $m_$ wie eine Konstante zu behandeln.



Komnst Du nun weiter?


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Substitution finden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:07 So 07.12.2008
Autor: Marry2605

Davon ausgehend würde ich jetzt folgendes tun also erstmal die beiden auseinander ziehen.
[mm] \integral_{0}^{m}{1 dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{m}{ \bruch{1}{m^2}*x^2dx} [/mm]

Beim 2. Integral würde ich mit partieller integration ansetzen :
[mm] \integral_{0}^{m}{x dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{m}{x^2* -\bruch{1}{m} dx} -\integral_{0}^{m}{2x - \bruch{1}{m^2} dx} [/mm]

Vorrausgesetzt das das bis hierher stimmt würde ich dann die 3 Integrale wieder als 1 Integral schreiben und dann das ganze wie gehabt ausrechnen?

Lg

Bezug
                        
Bezug
Substitution finden: genau lesen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:13 So 07.12.2008
Autor: Loddar

Hallo Marry!


Du musst meine Hinweise schon korrekt und aufmerksam lesen. [aufgemerkt]

$m_$ ist eine Konstante! Damit kannst Du schreiben:

[mm] $$\integral{\bruch{1}{m^2}*x^2+1 \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{m^2}*\integral{x^2 \ dx}+\integral{1 \ dx} [/mm] \ = \ ...$$

Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Substitution finden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:27 So 07.12.2008
Autor: Marry2605


>
> Du musst meine Hinweise schon korrekt und aufmerksam lesen.
> [aufgemerkt]

Ohje, tut mir leid, ich habs gelesen, aber irgendwie dann doch nicht so gelesen das ich drauf gekommen bin :(

> [mm]m_[/mm] ist eine Konstante! Damit kannst Du schreiben:
>  
> [mm]\integral{\bruch{1}{m^2}*x^2+1 \ dx} \ = \ \bruch{1}{m^2}*\integral{x^2 \ dx}+\integral{1 \ dx} \ = \ ...[/mm]

Das ich eine Konstante vorziehen kann ist mir aber klar!
ich komme jetzt auf
[mm] \bruch{1}{m^2} [/mm] * [mm] \bruch{1}{3} x^3 [/mm] + x

Jetzt das ganze einsetzten :
[mm] \bruch{1}{m^2} [/mm] * [mm] \bruch{1}{3}m^3 [/mm] + m - [mm] \bruch{1}{m^2} [/mm]

Jetzt sollte es aber doch stimmen?

lg



Bezug
                                        
Bezug
Substitution finden: zuviel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:40 So 07.12.2008
Autor: Loddar

Hallo Marry!


> Jetzt das ganze einsetzten :
>  [mm]\bruch{1}{m^2}[/mm] * [mm]\bruch{1}{3}m^3[/mm] + m - [mm]\bruch{1}{m^2}[/mm]

Wo kommt denn der letzte Bruch her? Der ist zuviel.

Und den ersten Term kann man noch kürzen sowie anschließend mit $+m_$ zusammenfassen.


Gruß
Loddar


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Bezug
Substitution finden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:59 So 07.12.2008
Autor: Marry2605

Eben hab ich is auch gesehen. Ich habe anstelle eines mal Zeichen ein minus gelesen. Und wenn ich dann F(0) einsetzte wäre dann ja
[mm] \bruch{1}{m^2} [/mm] stehen gelbieben!

Ich habe zur Übung grad mal noch eine Aufgabe gemacht hoffe die stimmt jetzt gleich :-)

[mm] \integral_{a}^{2a}{\bruch{b^2*x^2}{a^2} dx} [/mm]
Die Konstante a kann ich ja wieder vorziehen :
[mm] \bruch{1}{a^2}\integral_{a}^{2a}{b^2*x^2 dx} [/mm]
Jetzt Partielle integration durchführen....

Lg

Bezug
                                                        
Bezug
Substitution finden: nein!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:01 So 07.12.2008
Autor: Loddar

Hallo Marry!


Warum schon wieder partielle Integration? Du kannst doch auch [mm] $b^2$ [/mm] vor das Integral ziehen.


Gruß
Loddar


Bezug
                                                                
Bezug
Substitution finden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:03 So 07.12.2008
Autor: Marry2605

Ok, dann hab ich ein verständisproblem.

Woher weis ich an dieser stelle was ne Variable ist und was eine Konstante?
Ich bin zumindest bis eben davon ausgegangen das die Kontanten solche sind die vorne in meinem Integral stehen. Deswegen habe ich nur das a vorgezogen....

Bezug
                                                                        
Bezug
Substitution finden: aufs Differential achten
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:05 So 07.12.2008
Autor: Loddar

Hallo Marry!


Das Differential $dx_$ in dem Integral gibt an, nach welcher Variable integriert werden soll: in diesem Falle $x_$ .


Gruß
Loddar


Bezug
                                                                                
Bezug
Substitution finden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:16 So 07.12.2008
Autor: Marry2605

OK, danke für die Info :-) Dann sieht die Sache natürlich ganz anders aus!

Jetzt aber ... :

[mm] \integral_{a}^{2a}{ \bruch{b^2*x^2}{a^2}dx} [/mm]
a und b vorziehen :
[mm] \bruch{b^2}{a^2} \integral_{a}^{2a}{ x^2 dx} [/mm]

Dann komme ich bei Einsetzen von F(2a)-F(a) auf:

[mm] \bruch{b^2}{a^2} [/mm] * [mm] \bruch{1}{3}*2a^3 [/mm] -  [mm] \bruch{b^2}{a^2}*\bruch{1}{3}*a^3 [/mm]

Bezug
                                                                                        
Bezug
Substitution finden: Klammern und zusammenfassen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:18 So 07.12.2008
Autor: Loddar

Hallo Marry!


Aufpassen und evtl. notwendige Klammern nicht vergessen:

[mm] $$\bruch{b^2}{a^2}*\bruch{1}{3}*\red{(}2a\red{)}^3 [/mm] - [mm] \bruch{b^2}{a^2}*\bruch{1}{3}*a^3 [/mm] \ = \ ...$$
Und nun noch zusammenfassen ...


Gruß
Loddar



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