Substitution gesucht < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \integral_{8}^{27}{\bruch{1}{1+ \wurzel[3]{x}} dx} [/mm] |
Hallo zusammen,
Diese Aufgabe soll durch Substitution lösbar sein. Ich finde aber beim besten Willen nicht heraus, wie das gehen soll. Ich probier jetzt schon seit Stunden rum. Weiß jemand Rat?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:59 Fr 26.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\integral_{8}^{27}{\bruch{1}{1+ \wurzel[3]{x}} dx}[/mm]
> Hallo
> zusammen,
> Diese Aufgabe soll durch Substitution lösbar sein. Ich
> finde aber beim besten Willen nicht heraus, wie das gehen
> soll. Ich probier jetzt schon seit Stunden rum. Weiß jemand
> Rat?
setze mal [mm] $x=y^3$. [/mm] Dann ist (mithilfe der partiellen Integration)
[mm] $$\int \frac{1}{1+\sqrt[3]{x}}\;dx=\int \underbrace{\frac{1}{1+y}}_{=u(y)} \underbrace{3y^2}_{=v'(y)}\;dy\underset{\blue{\text{p.I.}}}{=}\frac{y^3}{1+y}+\int\frac{y^3}{(1+y)^2}\;dy\;.$$
[/mm]
Um das letzte Integral auszurechnen, setze [mm] $\black{z}=1+y$, [/mm] dann:
[mm] $$\int\frac{y^3}{(1+y)^2}\;dy=\int \frac{(z-1)^3}{z^2}\;dz=\int \frac{z^3-3z^2+3z-1}{z^2}\;dz\;\;\;...$$
[/mm]
Ich denke, Du weißt nun, wie es weitergeht. Am Ende nicht vergessen, [mm] $z=1+y=1+\sqrt[3]{x}$ [/mm] zu resubstituieren.
(Natürlich kannst Du oben auch mit Deinem bestimmten Integral analog rechnen.)
Gruß,
Marcel
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*kopfmitschwungaufdenschreibtischknall*
Danke für die schnelle Antwort! Da hatte ich aber auch'n Brett vorm Kopf...
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