Substitution im Grenzübergang < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:00 Do 17.04.2008 | | Autor: | pelzig |
| Aufgabe | | Zeigen Sie [mm] $\lim_{x\to0}e^{-\frac{1}{x}}x^{-k}=0$ [/mm] für [mm] $x\in\IR$ [/mm] und [mm] $k\in\IN$. [/mm] |
Hallo,
Wir wissen bereits aus der VL, dass [mm] $\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^k}=\infty$ [/mm] für alle [mm] $k\in\IN$. [/mm] Das sagt ja anschaulich aus, dass [mm] $e^x$ [/mm] schneller als jede Potenz von $x$ wächst. Daraus folgt offensichtlich (*) [mm] $\lim_{x\to\infty}e^{-x}x^{-k}=0$. [/mm] Spätestens jetzt sieht man, dass das schon fast wie unsere Behauptung aussieht.
Kann ich jetzt folgendes machen?
Substituiere [mm] $x=\frac{1}{z}\Leftrightarrow z=\frac{1}{x}$ [/mm] in (*) und es folgt [mm] $\lim_{z\to0}e^{-\frac{1}{z}}\left(\frac{1}{z}\right)^k=\lim_{z\to0}e^{-\frac{1}{z}}z^{-k}=0$ [/mm] ($x$ ging vorher gegen [mm] $\infty$, [/mm] deshalb muss [mm] $z=\frac{1}{x}$ [/mm] nun gegen $0$ gehen) - q.e.d.
Wenn ja, warum geht es und welche Voraussetzungen müssen erfüllt sein damit man das machen darf?
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Hi,
> Zeigen Sie [mm]\lim_{x\to0}e^{-\frac{1}{x}}x^{-k}=0[/mm] für [mm]x\in\IR[/mm]
> und [mm]k\in\IN[/mm].
> Hallo,
>
> Wir wissen bereits aus der VL, dass
> [mm]\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^k}=\infty[/mm] für alle [mm]k\in\IN[/mm].
> Das sagt ja anschaulich aus, dass [mm]e^x[/mm] schneller als jede
> Potenz von [mm]x[/mm] wächst. Daraus folgt offensichtlich (*)
> [mm]\lim_{x\to\infty}e^{-x}x^{-k}=0[/mm].
du meinst wohl [mm] $x^k$ [/mm] statt [mm] $x^{-k}$...
[/mm]
>Spätestens jetzt sieht
> man, dass das schon fast wie unsere Behauptung aussieht.
>
> Kann ich jetzt folgendes machen?
> Substituiere [mm]x=\frac{1}{z}\Leftrightarrow z=\frac{1}{x}[/mm] in
> (*) und es folgt
> [mm]\lim_{z\to0}e^{-\frac{1}{z}}\left(\frac{1}{z}\right)^k=\lim_{z\to0}e^{-\frac{1}{z}}z^{-k}=0[/mm]
> ([mm]x[/mm] ging vorher gegen [mm]\infty[/mm], deshalb muss [mm]z=\frac{1}{x}[/mm] nun
> gegen [mm]0[/mm] gehen) - q.e.d.
>
> Wenn ja, warum geht es und welche Voraussetzungen müssen
> erfüllt sein damit man das machen darf?
das geht. aussage (*) gilt fuer beliebige folgen [mm] $x_k\to\infty$. [/mm] hast du nun eine folge [mm] $z_k\to [/mm] 0$ gegeben, kannst du natuerlich daraus die folge [mm] $x_k:=1/z_k$ [/mm] ableiten, fuer die dann wiederum aussage (*) gilt. diese ganze argumentation gilt allerdings nur, falls fast alle folgeglieder von [mm] z_k [/mm] positiv sind. aber das sollte OK sein, da die zu zeigende aussage fuer [mm] $x\to [/mm] -0$ gar nicht gilt.
gruss
matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Do 17.04.2008 | | Autor: | pelzig |
Ok ich hab es jetzt nochmal alles ganz genau auseinander genommen:
z.z.: [mm] $\lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{e^x}=0\Rightarrow\lim_{x\to+0\atop x\ne0}e^{-\frac{1}{x}}x^{-k}=0\qquad(\forall k\in\IN)$.
[/mm]
Beweis: Sei [mm] $(x_n)\subset\IR^+$ [/mm] beliebig mit [mm] $x_n\to0$. [/mm] Für [mm] $z_n:=\frac{1}{x_n}$ [/mm] ist dann [mm] $\lim_{n\to\infty}z_n=\infty$ [/mm] und nach Voraussetzung ist [mm] $$0=\lim_{n\to\infty}\frac{z_n^k}{e^{z_n}}=\lim_{n\to\infty}e^{-\frac{1}{x_n}}x_n^{-k}\qquad(\forall k\in\IN)$$ [/mm] also die Behauptung, da [mm] x_n [/mm] beliebig war.
Stimmt das so?
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> Ok ich hab es jetzt nochmal alles ganz genau auseinander
> genommen:
>
> z.z.:
> [mm]\lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{e^x}=0\Rightarrow\lim_{x\to+0\atop x\ne0}e^{-\frac{1}{x}}x^{-k}=0\qquad(\forall k\in\IN)[/mm].
>
> Beweis: Sei [mm]$(x_n)\subset\IR^+$[/mm] beliebig mit [mm]$x_n\to0$.[/mm] Für
> [mm]$z_n:=\frac{1}{x_n}$[/mm] ist dann [mm]$\lim_{n\to\infty}z_n=\infty$[/mm]
> und nach Voraussetzung ist
> [mm]0=\lim_{n\to\infty}\frac{z_n^k}{e^{z_n}}=\lim_{n\to\infty}e^{-\frac{1}{x_n}}x_n^{-k}\qquad(\forall k\in\IN)[/mm]
> also die Behauptung, da [mm]x_n[/mm] beliebig war.
>
> Stimmt das so?
sieht gut aus, denke ich.
vg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:39 Fr 18.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
Edit:
Ich habe mich hier wohl teilweise selbst vertan, nichtsdestotrotz gibt es noch eine (kleine) Kritik, siehe die folgende Mitteilung.@ Robert: Sorry, da hätte ich wohl nochmal genau nachgucken sollen, was Dein Hilfsmittel und was die Aufgabenstelleung war. Mein Fehler 
wenn Du schreibst:
> z.z.:
> [mm]\lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{e^x}=0\Rightarrow\lim_{x\to+0\atop x\ne0}e^{-\frac{1}{x}}x^{-k}=0\qquad(\forall k\in\IN)[/mm].
so bedeutet das, dass Du zeigen wirst:
"Wenn [mm] $\lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{e^x}=0\$ [/mm] gilt, dann gilt auch [mm] $\lim_{x\to+0\atop x\ne0}e^{-\frac{1}{x}}x^{-k}=0\qquad(\forall k\in\IN)$."
[/mm]
Diese Aussage beweist Du aber gar nicht. Was Du eigentlich meinst:
Zu zeigen:
[mm] $\lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{e^x}=0$ ($\forall [/mm] k [mm] \in \IN$)
[/mm]
Und das obige müßte auch in Deinem Beweis anders stehen:
Beweis:
Wir zeigen dass folgendes gilt:
[mm] $(\*)$ $\lim_{x\to+0\atop x\ne0}e^{-\frac{1}{x}}x^{-k}=0\qquad(\forall k\in\IN)$
[/mm]
Und dann mußt Du begründen, dass, wenn [mm] $(\*)$ [/mm] gilt, dann auch [mm] $\lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{e^x}=0$ [/mm] gilt.
Das ist die Beweisstruktur.
--
Was natürlich auch geht, ist, wenn Du am Anfang (des Beweises, also das hier gehört nicht unter z.z.!) sofort schreibst, dass
(I) [mm] $\lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{e^x}=0 \gdw \lim_{x\to+0\atop x\ne0}e^{-\frac{1}{x}}x^{-k}=0\qquad(\forall k\in\IN)$
[/mm]
Aber wie gesagt: Weil Du die Richtigkeit von [mm] $\lim_{x\to+0\atop x\ne0}e^{-\frac{1}{x}}x^{-k}=0\qquad(\forall k\in\IN)$ [/mm] nachweist, ist von der Logik her noch die Konsequenz, auch nachzuweisen, dass daraus [mm] $\lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{e^x}=0$ [/mm] folgt. Also: Bei Dir ist die Beweisrichtung [mm] $\Leftarrow$ [/mm] in (I) für den Beweis, so wie Du ihn führst, wichtig.
Also mal ein wenig abstrakter:
Du sollst hier beweisen, dass eine Aussage $A$ gilt. Nun gehst Du hin, und beweist die Richtigkeit einer Aussage $B$ und schreibst zudem, dass gilt:
$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$. Der Beweis von $B$ liefert Dir dann aber keineswegs die Richtigkeit der Aussage $A$. Aber:
Wenn Du $B$ bewiesen hast und dann zeigst, dass die Folgerung $B [mm] \Rightarrow [/mm] A$ gilt, dann hast Du auch $A$ bewiesen. Deswegen:
Du brauchst oben bei Deiner Beweisführung, dass gilt:
[mm] $\lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{e^x}=0\blue{\Leftarrow}\lim_{x\to+0\atop x\ne0}e^{-\frac{1}{x}}x^{-k}=0\qquad(\forall k\in\IN)$ [/mm]
Also mindestens [mm] $\Leftarrow$ [/mm] anstatt des von Dir notierten [mm] $\Rightarrow$ [/mm] (oben geht vermutlich sogar ein [mm] $\gdw$).
[/mm]
Zudem solltest Du aufpassen, wohin Du was schreibst, denn Du zeigst oben ja nicht die Richtigkeit einer Folgerung $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$, sondern:
Du willst eine Aussage $A$ beweisen.
Im Beweis selbst zeigst Du erstmal, dass eine Aussage $B$ stimmt. Und in dem Beweis solltest Du dann reinschreiben, dass die Folgerung $B [mm] \Rightarrow [/mm] A$ gilt (und da hättest Du eigentlich noch, wenigstens eine Kleinigkeit, zu tun, denn das ist nicht trivial, sondern bedarf wenigstens einer (kleinen) Überlegung).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:53 Fr 18.04.2008 | | Autor: | pelzig |
> wenn Du schreibst:
> > z.z.: [mm]\lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{e^x}=0\Rightarrow\lim_{x\to+0\atop x\ne0}e^{-\frac{1}{x}}x^{-k}=0\qquad(\forall k\in\IN)[/mm].
>
> so bedeutet das, dass Du zeigen wirst:
>
> "Wenn [mm]\lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{e^x}=0\[/mm] gilt, dann gilt
> auch [mm]\lim_{x\to+0\atop x\ne0}e^{-\frac{1}{x}}x^{-k}=0\qquad(\forall k\in\IN)[/mm]."
>
> Diese Aussage beweist Du aber gar nicht.
Wie kommst du darauf? Ich bin mir sicher du irrst dich, ich beweise genau das, was da in meiner Behauptung steht.
Grüße, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:08 Fr 18.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Robert,
> > wenn Du schreibst:
> > > z.z.:
> [mm]\lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{e^x}=0\Rightarrow\lim_{x\to+0\atop x\ne0}e^{-\frac{1}{x}}x^{-k}=0\qquad(\forall k\in\IN)[/mm].
>
> >
> > so bedeutet das, dass Du zeigen wirst:
> >
> > "Wenn [mm]\lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{e^x}=0\[/mm] gilt, dann gilt
> > auch [mm]\lim_{x\to+0\atop x\ne0}e^{-\frac{1}{x}}x^{-k}=0\qquad(\forall k\in\IN)[/mm]."
>
> >
> > Diese Aussage beweist Du aber gar nicht.
>
> Wie kommst du darauf? Ich bin mir sicher du irrst dich, ich
> beweise genau das, was da in meiner Behauptung steht.
>
> Grüße, Robert
es geht nicht um die Richtigkeit des Beweises an sich. Es geht um die Formalität. Wenn Du schreibst:
Zu zeigen:
$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$
Dann heißt das, dass Du zeigen willst/wirst:
"Wenn $A$ gilt, dann gilt $B$."
Zumal beweist Du gar erstmal gar nicht die Behauptung, also die Richtigkeit von Aussage $A$, sondern Du beweist dann erstmal eine Aussage $B$. Dass das hier genügt, liegt an der Tatsache, dass die Folgerung $B [mm] \Rightarrow [/mm] A$ gilt.
Lies' bitte nochmal genau, was ich da oben geschrieben habe. Ich mache mal ein vergleichbares Beispiel:
Du sollst zeigen:
"Die Strasse ist nass."
Jetzt schreibst Du:
Ich zeige:
"Die Strasse ist nass" [mm] $\Rightarrow$ [/mm] "Es hat geregnet"
Das heißt, Du schreibst oben: Ich zeige:
"Wenn die Strasse nass ist, dann hat es geregnet!"
Und das ist Quatsch, und das meinst Du auch nicht so und machst es auch nicht so.
In Wahrheit willst Du zeigen:
zu zeigen:
"Die Straße ist naß"
Beweis:
Ich zeige: "Es hat geregnet". Denn es gilt die Folgerung:
"Wenn es geregnet hat" [mm] $\Rightarrow$ [/mm] "Die Straße ist naß", und damit habe ich gezeigt, dass die Straße nass ist.
Und nun führst Du den Beweis dafür, dass es geregnet hat.
--
Es geht mir hier um Formalitäten. Bei Dir:
Aussage $A$: [mm] $\lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{e^x}=0 [/mm] $ für alle $k [mm] \in \IN$
[/mm]
Aussage $B$: [mm] $\lim_{x\to+0\atop x\ne0}e^{-\frac{1}{x}}x^{-k}=0\qquad(\forall k\in\IN) [/mm] $.
Du sollst beweisen:
Aussage $A$ gilt, d.h.:
zu zeigen:
$A$ ist wahr
(und wenn Du schreibst: zu zeigen:
[mm] $\lim_{x\to0}e^{-\frac{1}{x}}x^{-k}=0 [/mm] $ für alle $k [mm] \in \IN$ $\Rightarrow$ $\lim_{x\to+0\atop x\ne0}e^{-\frac{1}{x}}x^{-k}=0\qquad(\forall k\in\IN) [/mm] $, dann heißt dass, dass Du zeigen willst/wirst, dass, wenn Aussage $A$ wahr ist (also wenn denn [mm] $\lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{e^x}=0$ [/mm] für alle $k [mm] \in \IN$ [/mm] gilt), dann auch Aussage $B$ wahr ist (dann gilt auch [mm] $\lim_{x\to+0\atop x\ne0}e^{-\frac{1}{x}}x^{-k}=0$ [/mm] für alle $k [mm] \in \IN$)).
[/mm]
Der nächste Fehler ist , dass Du im Beweis schreibst, dass die Richtigkeit von Aussage $A$ die Richtigkeit von Aussage $B$ zur Folge hat (bzw. das schreibst Du ja schon fälschlicherweise bei "zu zeigen"). Was Du aber in Deinem Beweis machst, ist umgekehrt (und das ist auch das, was Du brauchst):
Du zeigst:
Aus der Richtigkeit von $B$ folgt auch die Richtigkeit von $A$, und damit ist $A$ bewiesen, und auch das, was Du eigentlich zu zeigen hast (und nicht das, was Du schreibst, was Du zu zeigen hast).
Also:
Ich korrigiere mal Deinen Beweis formal + Reihenfolge:
z.z.: $ [mm] \lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{e^x}=0$ $\forall [/mm] k [mm] \in \IN$
[/mm]
(Dieser Sachverhalt ist zu zeigen!)
Beweis:
Wir zeigen zunächst:
[mm] $\lim_{x\to+0\atop x\ne0}e^{-\frac{1}{x}}x^{-k}=0\qquad(\forall k\in\IN)$
[/mm]
Es gilt:
Sei $ [mm] $(x_n)\subset\IR^+$ [/mm] $ beliebig mit $ [mm] $x_n\to0$. [/mm] $ Für $ [mm] $z_n:=\frac{1}{x_n}$ [/mm] $ ist dann $ [mm] $\lim_{n\to\infty}z_n=\infty$ [/mm] $ und nach Voraussetzung (Vorlesung?) ist
[mm] $\lim_{n\to\infty}\frac{z_n^k}{e^{z_n}}=0$ [/mm]
und daher folgt wegen [mm] $\lim_{n\to\infty}e^{-\frac{1}{x_n}}x_n^{-k}=\lim_{n\to\infty}\frac{z_n^k}{e^{z_n}}$ ($\forall [/mm] k [mm] \in \IN$) [/mm] auch
[mm] $\lim_{n\to\infty}e^{-\frac{1}{x_n}}x_n^{-k}=0$ ($\forall [/mm] k [mm] \in \IN$)
[/mm]
Das ist Deine Beweisstruktur. Es geht mir hier weniger um die Richtigkeit der Folgerung mit der Substitution, als um die Richtigkeit der Beweisstruktur und die Richtigkeit der "Symbolik".
Wenn man schreibt:
zu zeigen:
$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$
Dann heißt das eben nicht, dass man zeigen will/wird, dass $A$ gilt, sondern in dieser Notation heißt das, dass man zeigen will:
"Wenn $A$ gilt, dann gilt auch $B$."
Und jeder Leser wird sich wundern, warum Du nun zeigst, dass $B$ gilt, dass daraus folgt, dass $A$ gilt und dass Du damit gezeigt hast, dass $A$ gilt, obwohl Du doch angekündigt hattest, die Richtigkeit der Folgerung $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ zu zeigen.
Denk' mal genau drüber nach
P.S.:
Sorry, was auch sein kann, ist, dass ich irgendwie Dein "Hilfsmittel aus der Vorlesung" gerade vertauscht habe mit dem, was zu zeigen ist. Guck' halt nochmal drüber, das siehst Du ja selbst.
Aber Du darfst auf jeden Fall nicht aus:
zu zeigen:
$A$ gilt
machen:
zu zeigen:
$B [mm] \Rightarrow [/mm] A$
Bei dem ersten will man zeigen, dass eine Aussage $A$ gilt, bei dem zweiten will man zeigen, dass eine Folgerung $B [mm] \Rightarrow [/mm] A$ gilt.
(Und alleine, weil die Folgerung $B [mm] \Rightarrow [/mm] A$ gilt, folgt ja noch nicht, dass $A$ gelten muss. Denn wer sagt uns, das $B$ gilt? Und in Deinem Beweis zeigst Du ja eigentlich auch $B [mm] \Rightarrow [/mm] A$ [mm] $\mbox{\underline{und} dass }B$ [/mm] gilt, und damit ist $A$ dann bewiesen.)
Das ist jedenfalls zu kritisieren (bei dem anderen habe ich mich vermutlich einfach vertan, weil ich "Hilfsmittel" und das "zu zeigende" selbst vertauscht hatte ^^). Ist wohl zu spät
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:27 Fr 18.04.2008 | | Autor: | pelzig |
Also ich habe die beiden Aussagen:
A: [mm] $\lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{e^x}=0$
[/mm]
B: [mm] $\lim_{x\to+0\atop x\ne0}e^{-\frac{1}{x}}x^{-k}=0$
[/mm]
Im Beweis zeige ich wirklich nur [mm] $A\Rightarrow [/mm] B$. Dass $A$ gilt, kenne ich schon aus der VL, aber ich brauche $B$. Du bist irgendwie auf die Idee gekommen ich würde die Wahrheit von $B$ "aus dem Nichts" beweisen, aber ich benutze in dem Beweis dafür wirklich die Voraaussetzung A, nämlich genau an dieser Stelle:
[...]nach Voraussetzung ist [mm] $$0=\lim_{n\to\infty}\frac{z_n^k}{e^{z_n}}=\lim_{n\to\infty}e^{-\frac{1}{x_n}}x_n^{-k}\qquad(\forall k\in\IN)$$[...]
[/mm]
Hier habe ich $A$ benutzt. Ohne $A$ funktioniert der Beweis gar nicht.
Tatsächlich gilt ja sogar die Umkehrung, sogar für beliebige (nicht notwendiger Weise stetige!) Funktionen, also
[mm] $\lim_{x\to\infty}f(x)=a\in\IR\Leftrightarrow\lim_{x\to+0\atop x\ne0}f(1/x)=a$, [/mm] aber das ist ein anderes Thema.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:37 Fr 18.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Robert,
> Also ich habe die beiden Aussagen:
> A: [mm]\lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{e^x}=0[/mm]
> B: [mm]\lim_{x\to+0\atop x\ne0}e^{-\frac{1}{x}}x^{-k}=0[/mm]
>
> Im Beweis zeige ich wirklich nur [mm]A\Rightarrow B[/mm]. Dass [mm]A[/mm]
> gilt, kenne ich schon aus der VL, aber ich brauche [mm]B[/mm]. Du
> bist irgendwie auf die Idee gekommen ich würde die Wahrheit
> von [mm]B[/mm] "aus dem Nichts" beweisen, aber ich benutze in dem
> Beweis dafür wirklich die Voraaussetzung A, nämlich genau
> an dieser Stelle:
>
> [...]nach Voraussetzung ist
> [mm]0=\lim_{n\to\infty}\frac{z_n^k}{e^{z_n}}=\lim_{n\to\infty}e^{-\frac{1}{x_n}}x_n^{-k}\qquad(\forall k\in\IN)[/mm][...]
>
> Hier habe ich [mm]A[/mm] benutzt. Ohne [mm]A[/mm] funktioniert der Beweis gar
> nicht.
>
> Tatsächlich gilt ja sogar die Umkehrung, sogar für
> beliebige (nicht notwendiger Weise stetige!) Funktionen,
> also
>
> [mm]\lim_{x\to\infty}f(x)=a\in\IR\Leftrightarrow\lim_{x\to+0\atop x\ne0}f(1/x)=a[/mm],
> aber das ist ein anderes Thema.
ja, ich habe das mittlerweile gesehen. Ich hatte auch die Aussagen $A$ und $B$ fälschlicherweise vertauscht.
Wenn Du den Beweis so wie oben führst:
Zu zeigen: $B$ gilt.
Das darfst Du nun nicht umschreiben zu:
Zu zeigen:
$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$
In dem Moment, wo Du das schreibst, änderst Du die Aufgabenstellung.
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Wenn Du das so machst:
Zu zeigen: $B$ gilt.
Beweis:
Wir zeigen zunächst:
$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$
(Das gehört in den Beweis, es ist bei Dir ja ein Beweisschritt zu der eigentlichen Aufgabe, nämlich $B$ zu beweisen; es ist ja nicht die Aufgabenstellung, dass Du die Folgerung $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ zeigen sollst!)
Das machst Du nun oben mit der Substitution, das ist ja fast banal.
Und nun schreibst Du am Ende des Beweises:
In der Vorlesung (Satz ...) wurde bereits die Richtigkeit von $A$ erkannt, also ist damit $B$ bewiesen.
--
Alternativ kannst Du den Beweis auch so notieren:
Zu zeigen: $B$ gilt.
Beweis:
Da aus der Vorlesung bereits schon die Richtigkeit der Aussage $A$ erkannt wurde, genügt es nun, zu zeigen, dass $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ gilt. Dazu nun der Beweis:
...
--
Das letztstehende ist sicher auch das, was Du meinst. Du führst in dem Beweis zu $B$ einen "Unterbeweis"...
Ich hoffe, es ist nun klarer, was ich noch meine. Wenn nicht: "Tragisch" ist das nicht mehr. Tragischer wäre das, was ich zuerst geglaubt hatte, zu sehen, aber da hatte ich einfach $A$ und $B$ selbst durcheinandergeworfen
Gruß,
Marcel
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