Substitution in Induktionsbew. < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:02 Fr 31.01.2014 | | Autor: | knorke |
Hallo Leute.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich möchte für eine Klausurvorbereitung die Beweistechnik "Induktion" üben.
Ich habe mir aus einer Formelsammlung folgende Formel herausgesucht an der ich das üben möchte:
[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] 2^{n}
[/mm]
Der Induktionsanfang ist kein Problem.
Im Induktionsschritt habe ich n + 1 durch m substituiert:
Sei m = n + 1
und dann die Induktionsvoraussetzung mit Hilfe von m genutzt. Anschließend habe ich die Substitution für m wieder rückgängig gemacht.
Und zwar so:
[mm] \summe_{k=0}^{n+1} \vektor{n+1 \\ k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{m} \vektor{m \\ k} [/mm] = [mm] 2^{m} [/mm] = [mm] 2^{n+1} [/mm] q.e.d.
Ist die Substitution in diesem Beweis überhaupt erlaubt? Ich habe Beweise gesehen bei denen mit wesentlich umständlicheren Umformungen gearbeitet wurde. Evtl. gibt es ja einen Grund warum die Substitution hier nicht erlaubt ist.
Freue mich schon auf Eure Antworten.
Vielen Dank!
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Hallo,
> Hallo Leute.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Ich möchte für eine Klausurvorbereitung die Beweistechnik
> "Induktion" üben.
>
> Ich habe mir aus einer Formelsammlung folgende Formel
> herausgesucht an der ich das üben möchte:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}[/mm] = [mm]2^{n}[/mm]
>
> Der Induktionsanfang ist kein Problem.
>
> Im Induktionsschritt habe ich n + 1 durch m substituiert:
> Sei m = n + 1
> und dann die Induktionsvoraussetzung mit Hilfe von m
> genutzt. Anschließend habe ich die Substitution für m
> wieder rückgängig gemacht.
> Und zwar so:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n+1} \vektor{n+1 \\ k}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{m} \vektor{m \\ k}[/mm] = [mm]2^{m}[/mm] = [mm]2^{n+1}[/mm] q.e.d.
Wann hast du denn gezeigt, dass das rote = gilt?
>
> Ist die Substitution in diesem Beweis überhaupt erlaubt?
Erlaubt ist fast alles, aber so kannst du das nicht machen.
Es gibt allerlei Formeln für die Addition von Binomialkoeffizienten. Die solltest du hier nutzen ...
> Ich habe Beweise gesehen bei denen mit wesentlich
> umständlicheren Umformungen gearbeitet wurde.
Jo, das wird dann etwas länglich
Ein eleganter Alternativbeweis, der die Kenntnis des binom. Lehrsatzes [mm](x+y)^n=\sum\limits_{k=0}^n\vektor{n\\k}\cdot{}x^{n-k}\cdot{}y^{k}[/mm] voraussetzt:
[mm]2^n=(1+1)^n=[/mm] schreibe mal den bin. LS hin ...
> Evtl. gibt
> es ja einen Grund warum die Substitution hier nicht erlaubt
> ist.
Ja, du hast nix gezeigt für m ...
>
> Freue mich schon auf Eure Antworten.
> Vielen Dank!
>
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:32 Fr 31.01.2014 | | Autor: | knorke |
Hi.
Danke für die schnelle Antwort!
> > [mm]\summe_{k=0}^{n+1} \vektor{n+1 \\ k}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{m} \vektor{m \\ k}[/mm]
> = [mm]2^{m}[/mm] = [mm]2^{n+1}[/mm] q.e.d.
>
> Wann hast du denn gezeigt, dass das rote = gilt?
>
Hmmm. Das ist ein sehr gutes Argument, hier steht ja nach wie vor die Behauptung, lediglich mit m ausgedrückt. Danke das war mein Fehler.
> Ein eleganter Alternativbeweis, der die Kenntnis des binom.
> Lehrsatzes
> [mm](x+y)^n=\sum\limits_{k=0}^n\vektor{n\\k}\cdot{}x^{n-k}\cdot{}y^{k}[/mm]
> voraussetzt:
>
> [mm]2^n=(1+1)^n=[/mm] schreibe mal den bin. LS hin ...
Genau! Das ist ja die Behauptung: [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}
[/mm]
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> > Evtl. gibt
> > es ja einen Grund warum die Substitution hier nicht
> erlaubt
> > ist.
>
> Ja, du hast nix gezeigt für m ...
Verdammt, mein Gefühl hatte mir auch schon gesagt, dass hier etwas nicht stimmt. Deshalb ja auch die Frage :)
Vielen Dank.
Frage beantwortet.
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