Substitution o. partielle Int? < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnung des Integrals:
[mm] $\int \frac{x^2}{\sqrt{x+1}} [/mm] $ |
Hallo;
habe es mittels partieller Integration versucht:
$f'(x) = [mm] \sqrt{x+1} \to [/mm] f(x) = [mm] 2*(x+1)^{1/2}$
[/mm]
$g(x) = [mm] x^2 \to [/mm] g'(x) = 2x$
Wenn ich dann mehrfach partielle Integration anwende, erhalte ich schließlich:
[mm] $\int \frac{x^2}{\sqrt{x+1}} [/mm] = [mm] 2x^2*\sqrt{x+1} [/mm] - [mm] \frac{8x}{3}*(x+1)^{3/2} [/mm] - [mm] \frac{16}{15}*(x+1)^{5/2}$
[/mm]
und daran kann irgendwo etwas nicht stimmen =/
Wie geht man denn dieses Integral am besten an?
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> Berechnung des Integrals:
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> [mm]\int \frac{x^2}{\sqrt{x+1}}[/mm]
> Hallo;
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> habe es mittels partieller Integration versucht:
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> [mm]f'(x) = \sqrt{x+1} \to f(x) = 2*(x+1)^{1/2}[/mm]
> [mm]g(x) = x^2 \to g'(x) = 2x[/mm]
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> Wenn ich dann mehrfach partielle Integration anwende,
> erhalte ich schließlich:
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> [mm]\int \frac{x^2}{\sqrt{x+1}} = 2x^2*\sqrt{x+1} - \frac{8x}{3}*(x+1)^{3/2} - \frac{16}{15}*(x+1)^{5/2}[/mm]
>
> und daran kann irgendwo etwas nicht stimmen =/
>
> Wie geht man denn dieses Integral am besten an?
Salü Härdöpfeli !
(schweizerdeutsche Form deines Nicks)
ich würde es mit einer Substitution versuchen, entweder
u:=x+1 oder [mm] w:=\sqrt{x+1}
[/mm]
Probiere aus, was besser geht !
LG , Al-Chw.
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> Berechnung des Integrals:
>
> [mm]\int \frac{x^2}{\sqrt{x+1}}[/mm]
> Hallo;
>
> habe es mittels partieller Integration versucht:
>
> [mm]f'(x) = \sqrt{x+1} \to f(x) = 2*(x+1)^{1/2}[/mm]
> [mm]g(x) = x^2 \to g'(x) = 2x[/mm]
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> Wenn ich dann mehrfach partielle Integration anwende,
> erhalte ich schließlich:
>
> [mm]\int \frac{x^2}{\sqrt{x+1}} = 2x^2*\sqrt{x+1} - \frac{8x}{3}*(x+1)^{3/2} - \frac{16}{15}*(x+1)^{5/2}[/mm]
>
> und daran kann irgendwo etwas nicht stimmen =/
>
> Wie geht man denn dieses Integral am besten an?
Hi! scheint alles fast korrekt zu sein. 2 mal partiell, glaube aber letzte vorzeichen soll + sein, also vor [mm] \frac{16}{15}*(x+1)^{5/2}
[/mm]
Kannst auch [mm] x^2 [/mm] zerlegen: [mm] x^2=(1+x)^2-2(1+x)+1, [/mm] dann einfach summenintegral.
lg adlerbob
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Hallo,
mit Substitution bin ich nicht weiter gekommen;
mich hat sehr verwundert, dass Online-Integralrechner ein anderes Ergebnis anzeigen als meines :/
Aber wenn alles stimmt bin ich zufrieden :)
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Hallo Kartoffelchen,
> Hallo,
>
> mit Substitution bin ich nicht weiter gekommen;
dann hast du etwas falsch gemacht, zeige uns doch mal deinen Ansatz und Rechenweg.
> mich hat sehr verwundert, dass Online-Integralrechner ein
> anderes Ergebnis anzeigen als meines :/
In dem Fall kommt das offensichtlich daher, dass dein Ergebnis falsch ist. Den Fehler hat adlerbob aufgezeigt. Überraschend ist hier, dass beide Versionen übereinstimmen aber das gibt es in der Integralrechnung öfters, dass dabei eben völlig abwegige, aber richtige algebraische Identitäten zutage treten. Und das ist hier der Fall, wobei ich dabei bleibe, dass hier der Weg über die Substitution der ratsame ist.
Probiere es nochmals mit Substitution. Am einfachsten ist IMO u=x+1, dann hast du gleich mal dx=du und das Integral wird bestenfalls zum Zweizeiler! Will sagen: das geht dann mit abesolut elementaren Methoden weiter.
Gruß, Diophant
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
ja, da hab ich was falsch gemacht!
$ \int \frac{x^2}{\sqrt{x+1} dx$ mit u = x+1 ergibt
$ \int{\frac{x^2}{\sqrt{x+1}}dx = \int{ \frac{(u-1)^2}{ \sqrt{u}} du} = \int {(u^2-2u+1)*u^{-1/2}du} = \int {(u^{3/2} - 2u^{1/2} + u^{-1/2}} du$.
Also wenn ich da jetzt nichts falsch gemacht habe und weiterhin falsch mache, komme ich exakt auf das gewünschte Ergebnis und bin zufrieden :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:42 Fr 18.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> ja, da hab ich was falsch gemacht!
>
> [mm]\int \frac{x^2}{\sqrt{x+1} dx[/mm] mit u = x+1 ergibt
>
> [mm]\int{\frac{x^2}{\sqrt{x+1}}dx = \int{ \frac{(u-1)^2}{ \sqrt{u}} du} = \int {(u^2-2u+1)*u^{-1/2}du} = \int {(u^{3/2} - 2u^{1/2} + u^{-1/2}} du[/mm].
>
> Also wenn ich da jetzt nichts falsch gemacht habe
Hast Du nicht.
FRED
> und
> weiterhin falsch mache, komme ich exakt auf das gewünschte
> Ergebnis und bin zufrieden :)
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> mich hat sehr verwundert, dass Online-Integralrechner ein
> anderes Ergebnis anzeigen als meines :/
Dies könnte dreierlei bedeuten:
1.) du hast ein falsches Ergebnis
2.) der Online-Rechner hat da eine Macke
(eher weniger wahrscheinlich, aber nicht
ausgeschlossen ...)
3.) sowohl dein Ergebnis als auch das des
Rechners stimmen (allenfalls bis auf einen
konstanten Summanden in der Stammfunktion)
überein, aber du hast es nicht bemerkt, weil
es vielleicht nicht so offensichtlich ist. Terme
können unterschiedlich daherkommen und
doch äquivalent sein.
Dies kann bei vielen Integralen auftreten.
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 08:56 Fr 18.10.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo adlerbob,
> Hi! scheint alles fast korrekt zu sein.
Das ist aber in einem Matheforum eine eventuell ungünstige Formulierung. Entwede ist es richtig, oder falsch. Ein bisschen richtig geht nicht. 
> 2 mal partiell,
Das ist hier leider kein guter Tipp. Ich habe ihn nicht ausprobiert, aber für den Fall, dass er funktioniert, ist er viel zu umständlich.
> glaube aber letzte vorzeichen soll + sein, also vor
> [mm]\frac{16}{15}*(x+1)^{5/2}[/mm]
Das ist richtig, aber in meinen Augen nicht ratsam, das über partielle Integration zu machen.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler | | Datum: | 12:43 Fr 18.10.2013 | | Autor: | adlerbob |
Leute so ich rechne mal ausführlich aus:
1 Weg: 2 mal partiell
[mm] \integral{\bruch{x^2}{\wurzel{1+x}}dx}=\integral{2x^2(\wurzel{1+x})'dx}=2x^2\wurzel{1+x}-4\integral{x\wurzel{1+x}dx}
[/mm]
[mm] \integral{x\wurzel{1+x}dx}=\integral{\bruch{2}{3}x((1+x)^{3/2})'dx}=\bruch{2}{3}x(1+x)^{3/2}-\bruch{2}{3}\integral{(1+x)^{3/2}dx}
[/mm]
[mm] \integral{(1+x)^{3/2}dx}=\bruch{2}{5}(1+x)^{5/2}
[/mm]
Jetzt alles nach vorne eingesetzt, bekommt man:
[mm] \integral{\bruch{x^2}{\wurzel{1+x}}dx}=2x^2\wurzel{1+x}-\bruch{8}{3}x(1+x)^{3/2}+\bruch{8}{3}\integral{(1+x)^{3/2}dx}=2x^2\wurzel{1+x}-\bruch{8}{3}x(1+x)^{3/2}+\bruch{16}{15}(1+x)^{5/2}
[/mm]
Also gleiche Ergebnis wie von kartoffelchen von anfang an, NUR halt Letzte Koeffizient stimmte nich, daher war meine Aussage:
> > Hi! scheint alles fast korrekt zu sein.
Jetzt zu meinem zweiten Ansatz:
> > Kannst auch $ [mm] x^2 [/mm] $ zerlegen: $ [mm] x^2=(1+x)^2-2(1+x)+1, [/mm] $ dann einfach summenintegral.
[mm] \integral{\bruch{x^2}{\wurzel{1+x}}dx}=\integral{\bruch{(1+x)^2-2(1+x)+1}{\wurzel{1+x}}dx}=
[/mm]
[mm] \integral{(1+x)^{3/2}-2(1+x)^{1/2}+(1+x)^{-1/2}dx}
[/mm]
also kommt man auf gleiche wie bei substitution raus.
Und warum liefern beide Wege unterschiedliches raus?
Ist doch immer bei Integralrechnung so, man muss nachher Ergebniss vereinfachern, geht aber in diesem Fall nicht. Beide Ergebnisse sind aber Richtig.
Und nicht gleich so kritisieren ;)
lg adlerbob
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler | | Datum: | 12:48 Fr 18.10.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Und nicht gleich so kritisieren ;)
es geht hier nicht darum, jemanden zu kritisieren. Du hattest jedoch den falschen Vorfaktor 16/15 als richtig bestätigt und das kann man ja nicht so stehen lassen.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler | | Datum: | 13:40 Fr 18.10.2013 | | Autor: | adlerbob |
AlsoRechnung darüber hast nicht geprüft?
Da ist doch jedes Schritt ausgeschrieben, und der Vorfaktor kommt halt so raus.
lg, adlerbob
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 14:04 Fr 18.10.2013 | | Autor: | angela.h.b. |
> > Berechnung des Integrals:
> >
> > [mm]\int \frac{x^2}{\sqrt{x+1}}[/mm]
> > Hallo;
> >
> > habe es mittels partieller Integration versucht:
> >
> > [mm]f'(x) = \sqrt{x+1} \to f(x) = 2*(x+1)^{1/2}[/mm]
> > [mm]g(x) = x^2 \to g'(x) = 2x[/mm]
>
> >
> > Wenn ich dann mehrfach partielle Integration anwende,
> > erhalte ich schließlich:
> >
> > [mm]\int \frac{x^2}{\sqrt{x+1}} = 2x^2*\sqrt{x+1} - \frac{8x}{3}*(x+1)^{3/2} - \frac{16}{15}*(x+1)^{5/2}[/mm]
>
> >
> > und daran kann irgendwo etwas nicht stimmen =/
> >
> > Wie geht man denn dieses Integral am besten an?
>
>
> Hi! scheint alles fast korrekt zu sein. 2 mal partiell,
> glaube aber letzte vorzeichen soll + sein, also vor
> [mm]\frac{16}{15}*(x+1)^{5/2}[/mm]
>
Hallo,
Du hast recht:
das Ergebnis
[mm]\int \frac{x^2}{\sqrt{x+1}} = 2x^2*\sqrt{x+1} - \frac{8x}{3}*(x+1)^{3/2} \red{+} \frac{16}{15}*(x+1)^{5/2}[/mm] (+evtl. Konstante)
ist richtig, wovon man sich durch Ableiten überzeugen kann.
LG Angela
>
> Kannst auch [mm]x^2[/mm] zerlegen: [mm]x^2=(1+x)^2-2(1+x)+1,[/mm] dann
> einfach summenintegral.
>
> lg adlerbob
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