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Forum "Integralrechnung" - Substitution richtig?
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Substitution richtig?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:36 So 20.07.2008
Autor: AbraxasRishi

Aufgabe
[mm] \integral{\wurzel{8-x^2}-\bruch{x^2}{2}dx} [/mm]

Hallo!

Ich bin mit Derive auf ein anderes Ergebniss gekommen. Eigentlich war ich mir sehr sicher, aber jetzt frage ich mich was ich falsch gemacht habe..[kopfkratz3]

Könnte mir bitte jemand helfen?
Vielen Dank!

[mm] \integral{\wurzel{8-x^2}dx}-\integral{\bruch{x^2}{2}dx} [/mm]

(1. Integral)

[mm] \wurzel{8}\integral{\wurzel{1-\bruch{x^2}{8}}dx} [/mm]

[mm] \bruch{x}{\wurzel{8}}=sin(u) [/mm]

[mm] dx=\wurzel{8}*cos(u) [/mm]

[mm] 8*\integral{cos^2(u)du} [/mm]

[mm] 4*\integral{1+cos(2u)du} [/mm]

[mm] 4*[arcsin(\bruch{x}{\wurzel{8}})+\bruch{1}{2}*sin(2*arcsin(\bruch{x}{\wurzel{8}}))]-\bruch{x^3}{6} [/mm]

Derive kam auf:
[mm] 4*ASIN(\bruch{\wurzel{2}*x}{4})+\bruch{x*\wurzel{8-x^2}}{2}-\bruch{x^3}{6} [/mm]

Falls mein Ergebniss stimmt: Mit welchen Theorem kann ich es so umformen?

Gruß

Angelika

        
Bezug
Substitution richtig?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:05 So 20.07.2008
Autor: schachuzipus

Hallo Angelika,

> [mm]\integral{\wurzel{8-x^2}-\bruch{x^2}{2}dx}[/mm]
>  Hallo!
>  
> Ich bin mit Derive auf ein anderes Ergebniss gekommen.
> Eigentlich war ich mir sehr sicher, aber jetzt frage ich
> mich was ich falsch gemacht habe..[kopfkratz3]
>  
> Könnte mir bitte jemand helfen?
>  Vielen Dank!
>  
> [mm]\integral{\wurzel{8-x^2}dx}-\integral{\bruch{x^2}{2}dx}[/mm]
>  
> (1. Integral)
>  
> [mm]\wurzel{8}\integral{\wurzel{1-\bruch{x^2}{8}}dx}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{x}{\wurzel{8}}=sin(u)[/mm]
>  
> [mm]dx=\wurzel{8}*cos(u)[/mm]
>  
> [mm]8*\integral{cos^2(u)du}[/mm]
>  
> [mm]4*\integral{1+cos(2u)du}[/mm]
>  
> [mm]4*[arcsin(\bruch{x}{\wurzel{8}})+\bruch{1}{2}*sin(2*arcsin(\bruch{x}{\wurzel{8}}))]-\bruch{x^3}{6}[/mm]

[daumenhoch]

>  
> Derive kam auf:
>  
> [mm]4*ASIN(\bruch{\wurzel{2}*x}{4})+\bruch{x*\wurzel{8-x^2}}{2}-\bruch{x^3}{6}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

[ok]

>  
> Falls mein Ergebniss stimmt: Mit welchem Theorem kann ich
> es so umformen?

Beim ersten Summanden kannst du schlicht das $\bruch{x}{\wurzel{8}}$ erweitern mit $\sqrt{2}$

Beim zweiten Summanden brauchst du die Additionstheoreme von $\sin$, $\cos$ und die Beziehung $\sin^2(z)+\cos^2(z)=1$

Es ist $2\cdot{}\sin\left(2\cdot{}\arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{8}}\right)\right)=2\cdot{}\sin\left(\arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{8}}\right)+\arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{8}}\right)\right)$

$=2\cdot{}2\cdot{}\sin\left(\arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{8}}\right)\right)\cdot{}\cos\left(\arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{8}}\right)\right)$

$=\frac{4x}{\sqrt{8}}\cdot{}\sqrt{1-\sin^2\left(\arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{8}}\right)\right)}}$

Es sind ja $\sin$ und $\arcsin$ Umkehrfunktionen zueinander

Damit nun weiter ...

>  
> Gruß
>  
> Angelika
>  


LG

schachuzipus
Bezug
                
Bezug
Substitution richtig?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:18 So 20.07.2008
Autor: AbraxasRishi

Danke schachuzipus! [flowers]

LG

Angelika
Bezug
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