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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:08 Do 26.02.2009 | | Autor: | M4nuel |
| Aufgabe | Bestimme die Abbildungsmatrix für die Spiegelung imRaum an der Ebene E: [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} * \vec x = 0[/mm]
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Ich weiß leider nicht wie ich auf die Abbildungsmatrix komme, weil in der Schule haben wir nur eine Formel aufgeschrieben, mit der wir eine 2-Dimensionale Abbildung spiegeln können: [mm]g: \vec x = \lambda * {u \choose v}[/mm] --> [mm]T_g = \begin{pmatrix}
\left( \bruch{u^2-v^2}{u^2+v^2} \right) & \left( \bruch{2*u*v}{u^2+v^2} \right) \\
\left( \bruch{2*u*v}{u^2+v^2} \right) & \left( -\bruch{u^2-v^2}{u^2+v^2} \right)
\end{pmatrix}[/mm]
Jetzt dachte ich einfach, dass ich die letzte Koordinate der Ebene, weil sie 0 ist, einfach weg lassen kann und dann u = v = 1 habe, aber das stimmt nicht mit dem Ergebnis [mm]T_g = \begin{pmatrix}
0 & -1 & 0 \\
-1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}[/mm] überein. Gibt es eine ähnliche Formel für eine 3x3 Matrix?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Do 26.02.2009 | | Autor: | M4nuel |
Mir ist aufgefallen, dass die Matrix [mm]T_g[/mm] nur zur Berechnung einer Spiegelung an einer beliebigen Ursprungsachse dient. Gibt es eine solche Matrix auch für die Spiegelung im Raum?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:20 Do 26.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ueberlege einfach, was die Bilder der 3 Basisvektoren sind. das sind dann die Spalten deiner Matrix.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Do 26.02.2009 | | Autor: | M4nuel |
Ich habe mir mal zum Verständnis die Basisvektoren und die Bilder der Basisvektoren auf einem Blatt in einen Graphen gezeichnet. Aber ich sehe den Zusammenhang nicht zwischen den Spalten und den Basisvektoren. Gibt es nicht einfach so eine schöne Formel wie [mm]T_g[/mm] die ich für Spieglungen im Raum an einer Ebene auswendig lernen kann?
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> Ich habe mir mal zum Verständnis die Basisvektoren und die
> Bilder der Basisvektoren auf einem Blatt in einen Graphen
> gezeichnet. Aber ich sehe den Zusammenhang nicht zwischen
> den Spalten und den Basisvektoren. Gibt es nicht einfach so
> eine schöne Formel wie [mm]T_g[/mm] die ich für Spieglungen im Raum
> an einer Ebene auswendig lernen kann?
Lernst du solche Formeln wie die, die du für die
Spiegelung an einer Geraden angegeben hast,
auswendig ? Na, dann viel Vergnügen. Aber damit
füllst du dein Gehirn mit Schrott, der dir nur für
die gerade anstehende Prüfung etwas nützen mag,
dir aber für das mathematische Verständnis
nichts bringt. Leduarts Tipp über den Zusammen-
hang von Abbildungsmatrix und Bildern der Basis-
vektoren ist dagegen etwas einfach zu merkendes,
das dir in sehr vielen weiteren Situationen helfen
kann.
Im vorliegenden Beispiel kannst du dir anhand
einer Skizze leicht klar machen, dass
$\ [mm] S*\vektor{1\\0\\0}=\vektor{0\\-1\\0}\quad S*\vektor{0\\1\\0}=\vektor{-1\\0\\0}\quad S*\vektor{0\\0\\1}=\vektor{0\\0\\1}$ [/mm]
Daraus ergibt sich dann sofort die Abbildungsmatrix
$\ [mm] S=\pmat{0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&1}$
[/mm]
LG Al-Chw.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:25 Do 26.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nimm doch mal irgend eine Matrix, und sieh nach, worauf sie die Standard Basisvektoren abbildet!
Gruss leduart
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