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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:39 Sa 21.02.2009 | | Autor: | Jamo |
| Aufgabe | | Bestimmen sie alle differenzierbare Funktionen [mm]f: \IR \to \IR[/mm] mit [mm]f'(x) = f(-x) \forall x \in \IR[/mm]. |
Hi all!
Ich steck grad mitten in der Klausurvorbereitung und da habe ich diese Aufgabe in einer Altklausur gefunden.
Die Aufgabe wurmt mich schon seit Tagen und ich komm einfach auf keine gescheite Lösung. Ich hab sämtliche standard Funktionen (cos, sin, tan, e, ln, polynome etc.) schon ausprobiert, aber ich finde keine die passt.
Das einzige was passt, ist [mm]y = const. = 0[/mm].
Aber das kann ja nicht Sinn der Aufgabe in einer Klausur sein.
Vielleicht hat jemand von euch Lust zu knobeln oder nen Hinweis für mich, würd mich freuen.
gruß,
Jamo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:25 Sa 21.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen sie alle differenzierbare Funktionen [mm]f: \IR \to \IR[/mm]
> mit [mm]f'(x) = f(-x) \forall x \in \IR[/mm].
> Hi all!
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> Ich steck grad mitten in der Klausurvorbereitung und da
> habe ich diese Aufgabe in einer Altklausur gefunden.
> Die Aufgabe wurmt mich schon seit Tagen und ich komm
> einfach auf keine gescheite Lösung. Ich hab sämtliche
> standard Funktionen (cos, sin, tan, e, ln, polynome etc.)
> schon ausprobiert, aber ich finde keine die passt.
> Das einzige was passt, ist [mm]y = const. = 0[/mm].
> Aber das kann
> ja nicht Sinn der Aufgabe in einer Klausur sein.
>
> Vielleicht hat jemand von euch Lust zu knobeln oder nen
> Hinweis für mich, würd mich freuen.
Hallo,
vielleicht liegst du mit deiner Vermutung gar nicht so schlecht.
Ich habe eine Funktion gefunden, die f'(x) = f(-x) erfüllt:
[mm] f(x)=\begin{cases} e^{x}, & \mbox{für } x<0 \\ -e^{x}, & \mbox{für } x>0 \end{cases}
[/mm]
Die ist leider an der Stelle 0 nicht differenzierbar...
Überlege, was passiert (mit Funktionswert und Anstieg in einer Epsilon-Umgebung von x=0), wenn der Funktionswert an der Stelle 0 NICHT Null wäre...
Gruß Abakus
>
> gruß,
> Jamo
>
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:24 So 22.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen sie alle differenzierbare Funktionen [mm]f: \IR \to \IR[/mm]
> mit [mm]f'(x) = f(-x) \forall x \in \IR[/mm].
> Hi all!
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> Ich steck grad mitten in der Klausurvorbereitung und da
> habe ich diese Aufgabe in einer Altklausur gefunden.
> Die Aufgabe wurmt mich schon seit Tagen und ich komm
> einfach auf keine gescheite Lösung. Ich hab sämtliche
> standard Funktionen (cos, sin, tan, e, ln, polynome etc.)
> schon ausprobiert, aber ich finde keine die passt.
> Das einzige was passt, ist [mm]y = const. = 0[/mm].
> Aber das kann
> ja nicht Sinn der Aufgabe in einer Klausur sein.
>
> Vielleicht hat jemand von euch Lust zu knobeln oder nen
> Hinweis für mich, würd mich freuen.
>
> gruß,
> Jamo
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Wegen [mm]f'(x) = f(-x) \forall x \in \IR[/mm]
ist f 2 - mal differenzierbar und
[mm]f''(x) =- f(x) \forall x \in \IR[/mm]
Stichwort: homogene lineare DGL. 2. Ordnung
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:58 Mo 23.02.2009 | | Autor: | Jamo |
Mh, beides keine schlechten Ideen. Aber so ne doppelte Funktion (für größer oder kleiner 0) ist auch irgendwie getrickst.
Wenn das mit der DGL irgendwie klappt, könnt ich mir gut vorstellen, dass das sowas ist. Würde auch ganz gut zum Thema passen.
Mal schaun, falls ich noch was rausbekomme, poste ich es hier ;)
gruß,
Jamo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:38 Mo 23.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Wenn Du meinen Tipp von oben beherzigst, siehst Du, dass es tatsächlich im Wesentlichen nur eine Funktion gibt, nämlich ... ??
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Di 24.02.2009 | | Autor: | Jamo |
Das müsste dann der Cosinus sein, oder?
Ich versteh aber noch nich, wie du auf die Schlussfolgerung da kommst.
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Hallo Manuel,
> Das müsste dann der Cosinus sein, oder?
Nicht ganz, es ist eine Linearkombination aus Sinus und Cosinus
> Ich versteh aber noch nich, wie du auf die
> Schlussfolgerung da kommst.
Mit Freds Tipp löse die Dgl. $f''(x)=-f(x)$
bzw. äquivalent $f''(x)+f(x)=0$
charakt. Gleichung [mm] $\lambda^2+1=0\Rightarrow \lambda=\pm [/mm] i$ ...
Löse das mal weiter ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Di 24.02.2009 | | Autor: | Jamo |
Immer dieses blöde Umschreiben von Cos und Sin, das macht mich irgendwann nochmal fertig ^^
Also, mit [mm]\lambda = \pm i[/mm] kriegt man dann ja
[mm]y_h &=& Ae^{ix} + Be{-ix}
&=& A(cosx + isinx) + B(cos(-x) + isin(-x))
&=& A(cosx + isinx) + B(cos(x) - isin(x)) [/mm]
wäre nach dem Realteil gefragt hätte man dann
[mm]y_h = (A+B)cosx = Ccosx[/mm]
kann also nich sein, ich schätze irgendwas verhau ich beim Umschreiben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 Di 24.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
cosx und sinx sind doch alleine als reelle Loesungen schon ein fundamentalsystem. Man muss nicht uber das Komplexe gehen.
also hast du die allgemeine Loesung f=acosx+bsinx
jetzt noch a,b so bestimmen, dass f'(x)=f(-x)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 Mi 25.02.2009 | | Autor: | Jamo |
Mh.. An der Stelle hab ich schonmal überlegt. Ich glaub jetz hab ichs. Kann man das irgendwie anders, als durch ausprobieren lösen?
Meine lösung ist einfach A = B = 1
dann ist [mm]y(x) = sinx + cosx[/mm]
-> [mm]y(-x) = cosx - sinx[/mm] (Symmetrieüberlegungen)
-> [mm] y'(x) = cosx - sinx[/mm]
Das wäre meine Lösung, korrekt?
Gruß,
Jamo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 Mi 25.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Mh.. An der Stelle hab ich schonmal überlegt. Ich glaub
> jetz hab ichs. Kann man das irgendwie anders, als durch
> ausprobieren lösen?
Nochmal: die allgemeine Lösung der DGL. $y'' = -y$ ist
$y(x) = Acosx +Bsinx$ (A,B [mm] \in \IR)
[/mm]
Für eine solche Lösung gilt:
$y'(x) = y(-x)$ [mm] \gdw [/mm] $A = B$
>
> Meine lösung ist einfach A = B = 1
> dann ist [mm]y(x) = sinx + cosx[/mm]
> -> [mm]y(-x) = cosx - sinx[/mm]
> (Symmetrieüberlegungen)
> -> [mm]y'(x) = cosx - sinx[/mm]
>
> Das wäre meine Lösung, korrekt?
nicht ganz (s.o.) $y(x) = A(sinx + cosx)$
FRED
>
> Gruß,
> Jamo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Mi 25.02.2009 | | Autor: | Jamo |
Also ist das A egal, so lange vor beiden das gleiche steht quasi?
Näher bestimmen kann man das dann nur mit gegebenen AB?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:29 Mi 25.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Also ist das A egal, so lange vor beiden das gleiche steht
Ja
> quasi?
Quasi, im Prinzip....
> Näher bestimmen kann man das dann nur mit gegebenen AB?
Wie bitte ? Nochmal : für eine differenzierbare Funktion f gilt:
$f'(x) = f(-x)$ für jedes x [mm] \gdw [/mm] es ex. A [mm] \in \IR [/mm] mit $f(x) = A(cosx +sinx)$
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:34 Mi 25.02.2009 | | Autor: | Jamo |
Ja, genau. D.h. wenn ich jetzt nichts weiter weiß, dann ist das A irgendein A [mm] \in \IR. [/mm] Das A ist also frei wählbar.
Wenn ich aber Anfangsbedingungen zusätzlich gegeben habe, kann ich das A bestimmen.
Gruß und Danke!
Jamo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:39 Mi 25.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ja, genau. D.h. wenn ich jetzt nichts weiter weiß, dann ist
> das A irgendein A [mm]\in \IR.[/mm] Das A ist also frei wählbar.
>
ja
> Wenn ich aber Anfangsbedingungen zusätzlich gegeben habe,
> kann ich das A bestimmen.
>
ja
> Gruß und Danke!
> Jamo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:05 Mo 02.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Eine Lösung, die ohne DGLen auskommt:
Sei [mm] f:\IR [/mm] --> [mm] \IR [/mm] eine differenzierbare Funktion und $f'(x) = f(-x) $ für jedes x [mm] \in \IR
[/mm]
Induktiv sieht man: f ist auf [mm] \IR [/mm] beliebig oft differenzierbar und
(*) [mm] $f^{(2n)}(x) [/mm] = (-1)^nf(x)$ und $ [mm] f^{(2n+1)}(x) [/mm] = (-1)^nf(-x)$ (x [mm] \in \IR, n\ge [/mm] 0)
Damit:
[mm] \bruch{f^{(2n)}(0)}{(2n)!} [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^n}{(2n)!} [/mm] und [mm] \bruch{f^{(2n+1)}(0)}{(2n+1)!} [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!}
[/mm]
Mit $c:= f(0)$ ist dann die Taylorreihe T(x) von f (mit Entwicklungspunkt 0) gegeben durch
$T(x) = c(cosx+sinx)$
Sei [mm] $T_n(x)$ [/mm] das zugeh. n-te Taylorpolynom , also ist [mm] T_n [/mm] die n-te Teilsumme von T
Sei x [mm] \in \IR [/mm] (fest) . Nach dem Satz vonTaylor und (*) existiert ein t twischen 0 und x mit
$|f(x) [mm] -T_n(x)| [/mm] = [mm] \bruch{|x|^{n+1}}{(n+1)!}|f(\pm [/mm] t)|$
Somit konvergiert [mm] (T_n) [/mm] auf [mm] \IR [/mm] gegen f. Daher:
$f(x) = c(cosx+sinx)$
FRED
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