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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 Sa 09.12.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
Wieso ist die Summe
[mm] $\sum^{\infty}_{x=0}\br{x^2}{2^x}$
[/mm]
dasselbe wie [mm] $\sum^{\infty}_{x=0}\br{(x+1)^2}{2^{x+1}}$
[/mm]
da kommt beide Male 6 heraus,
Es gilt also:
[mm] $\sum^{\infty}_{x=0}\br{x^2}{2^x}=\sum^{\infty}_{x=0}\br{(x+1)^2}{2^{x+1}}$
[/mm]
Nur wieso ist das dasselbe? Ist Kann man das immer machen? in einer Summe für x dann x+1 einsetzen und schon ist es immernoch dasselbe wie vorher? Wohl eher nicht, oder? Es wundert mich, dass sich der Summenanfang nicht ändert (die Null)
Kann jemand dazu etwas sagen?
Dankeschön!
Grüße
Phoney
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:19 Sa 09.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Phoney!
Allgemein gilt diese "Indexverschiebung" selbstverständlich nicht.
In diesem Falle aber unterscheiden sich beide Reiehen aber lediglich um die Differenz $0_$ , da die Zählvariable $x_$ genau diesen Wert zu Beginn annimmt:
[mm]\sum^{\infty}_{x=0}\br{x^2}{2^x} \ = \ \bruch{0^2}{2^0}+\bruch{1^2}{2^1}+\bruch{2^2}{2^2}++\bruch{3^2}{2^3}+ ... \ = \ \red{0}+\bruch{1}{2}+\bruch{4}{4}+\bruch{9}{8}+...[/mm]
[mm]\sum^{\infty}_{x=0}\br{(x+1)^2}{2^{x+1}} \ = \ \bruch{(0+1)^2}{2^{0+1}}+\bruch{(1+1)^2}{2^{1+1}}+\bruch{(2+1)^2}{2^{2+1}}+... \ = \ \bruch{1}{2}+\bruch{4}{4} +\bruch{9}{8}+ ...[/mm]
Gruß
Loddar
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